Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

162 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
ist
∫
1 1
g x ∗ g t (x) =
(2πt) d/2 (2πs) d/2
= d ∏
i=1
= d ∏
i=1
= d ∏
i=1
∫
1 √1
2π st
1
2π
= g s+t (x).
exp ( − 1 2s ||y − x|| − 1 2t ||y||) dy
exp ( − 1 2s (y i − x i ) 2 − 1 2t y2 i
)
dyi
√1
st
exp ( − 1
2(t+s) x2 i
√
1
exp ( )
− 1
2π(s+t) 2(t+s) x2 i
) ∫ exp ( (
− t+s
2st yi − t
t+s x 2 )
i)
dyi
} {{ }
=
r
2π st
s+t
18.7 Heuristische Interpretation
Unser nächstes Ziel ist die Konstruktion von Prozessen aus einer Markoff’schen Schar und einer
Startwahrscheinlichkeit. Dazu beschreiben wir zunächst die Idee, die hinter einem solchen Prozess
steckt.
Die Größe P s,t [x, B] sei die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein irrfahrendes Teilchen sich zur
Zeit t in der Menge B befindet, wenn es zur Zeit s ≤ t im Punkt x ist. Das Teilchen sei dabei
gedächtnislos, d.h. zu jedem Zeitpunkt r ∈ [s; t] orientiert sich Teilchen nur an seinem Ort zur Zeit
r, nicht aber an der Vergangeheit. Daher berechnet sich P s,t [x, B] als Wahrscheinlichkeit dafür,
dass das Teilchen zur Zeit t in B ist, wenn es zur Zeit r irgendwo in y ∈ E ist, gemittelt über alle
zur Zeit r erreichbaren y, wobei das Teilchen zur Zeit s in x startet, d.h.
∫
P s,t [x, B] =
P s,r [x, dy]P r,t [y, B] = P s,r P r,t [x, B].
Dies motiviert die Chapman-Kolmogoroff-Gleichungen. Anders ausgedrückt heißt das
∫
P s,t [x, B] =
∫
P s,r [x, dy]
∫
P r,t [y, dz]1 B (z) =
E
∫
P s,r [x, dy] P r,t [y, dz].
B
Allgemeiner kann man an ein Modell denken, an dem das Teilchen zur Zeit 0 gemäß einer Startwahrscheinlichkeit
µ ∈ M 1 +(E) in einem zufälligen Punkt startet und sich zu Zeitpunkten t 1 <
. . . < t n nacheinander in Mengen B 1 , . . . B n mit Wahrscheinlichkeit
∫
∫
µ[dx 0 ]
∫
. . .
∫
P tn−2 ,t n−1
[x n−2 , dx n−1 ]1 Bn−1 (x n−1 )
P tn−1 ,t n
[x n−1 , dx n ]1 Bn (x n )
befindet.
Dies suggeriert das folgende Resultat.