Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

7. FORTSETZUNG VON INHALTEN ZU MASSEN 65
also
Für j ∈ T n ist
A nj
µ[B k ] =
∞∑ ∑
n=1
j∈T n
µ[A j ∩ B k ].
= ⊎
A j ∩ B k und damit µ[A nj ] = ∑ µ[A nj ∩ B k ].
} {{ }
k∈K
k∈K
∈H
Insgesamt ergibt sich
m[C] = ∑ µ[B k ] = ∑ ∞∑ ∑
∞∑ ∑
∞∑
µ[A nj ∩ B k ] = µ[A nj ] = m[C n ].
k∈K
k∈K n=1 j∈T n n=1 j∈T n n=1
✷
7.5 Definition
Ein Mengensystem K ⊆ P(Ω) heißt kompakt, wenn
1. A, B ∈ K ⇒ A ∩ B ∈ K,
∞⋂
2. ist (K n ) n∈N ∈ K N mit K n = ∅, so gibt es ein n ∈ N mit K 1 ∩ . . . ∩ K n = ∅.
n=1
7.6 Lemma
Ist K ein kompaktes System, so ist auch der Verband
{ n
}
⋃
K ∪ := K i : n ∈ N, K i ∈ K
ein kompaktes System.
i=1
Beweis: Klar ist, dass K ∪ ∩-stabil ist. Zu zeigen bleibt, dass es für (L n ) n∈N ∈ (K ∪ ) N mit
für jedes n ∈ N auch
n⋂
L i ≠ ∅
∞⋂
L n ≠ ∅ gilt. Wir zeigen unter diesen Voraussetzungen mit Induktion:
n=1
Beh: ∀n ∈ N ∃L n ⊇ K n ∈ K : K 1 ∩ . . . ∩ K n ∩ L n+1 ∩ . . . ∩ L n+k ≠ ∅ (k ∈ N).
“n = 1”: Es gibt eine endliche Indexmenge T 1 mit L 1 = ⋃
man erreichen, dass K 1 ∩ L 2 ∩ . . . L n+k ≠ ∅
i=1
K j . Durch Umordnen von T 1 kann
j∈T 1
(k ∈ N).
“n → n + 1”: Es gibt wieder eine endliche Indexmenge T n+1 und Mengen K j ′ (j ∈ T n+1), so dass
L n+1 =
⋃
K j. ′ Nach Voraussetzung ist
j∈T n+1
K 1 ∩ . . . ∩ K n ∩
⋃
Deshalb gibt es ein K n+1 ∈ {K ′ j : j ∈ T n+1} mit
j∈T n+1j
K ′ j ∩ L n+2 ∩ . . . ∩ L n+1+k ≠ ∅
(k ∈ N).
K 1 ∩ . . . ∩ K n+1 ∩ L n+2 ∩ . . . ∩ L n+1+k ≠ ∅
(k ∈ N).