Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

20. DIE BROWN’SCHE BEWEGUNG 173
Denn: Der Prozess (X t ) t∈R+ ist eine C(R + , R d )-kanonische Brown’sche Bewegung mit P 0 X 0
= ɛ 0 ,
also
(X t − X s )P 0 = (T x ◦ X t − T x ◦ X s )P 0 = (X t − X s )(T x (P 0 )).
Also beinhaltet die Unabhängigkeit der Zuwächse bzgl. P 0 die Unabhängigkeit der Zuwächse bzgl.
T x (P 0 ). Wegen
T x (P 0 ) X0 = X 0 ◦ T x (P 0 ) = ɛ x
ist (X t ) t∈R+ bzgl. T x (P 0 ) eine Brown’sche Bewegung mit Start in x, wegen der Eindeutigkeit in
20.5 ist also T x (P 0 ) = P x .
20.8 Satz (Eigenschaften der Brown’schen Bewegung)
Sei (X t ) t∈I eine Brown’sche Bewegung in R d .
1. Homogenität: Für jedes s ∈ R + ist der Prozess (X t+s − X s ) t∈R+ eine normale Brown’sche
Bewegung.
2. Zeitverschiebung: Der Prozess (X s+t ) t∈R+ ist eine Brown’sche Bewegung in R d (s ∈ R + ).
3. Translation: Der Prozess (X t + x) t∈R+ ist eine Brown’sche Bewegung in R d (x ∈ R d ).
4. Orthogonale Transformation, insbesondere Spiegelung und Drehung: Für jede orthogonale
Transformation A in R d ist auch (AX t ) t∈R+ eine Brown’sche Bewegung im R d . Ist (X t ) t∈I
normal, so auch (AX t ) t∈R+ .
5. Für τ > 0 ist auch (τX t
(τX t
τ 2 ) t∈R+ .
τ 2 ) t∈R+
eine Brown’sche Bewegung in R d . Ist (X t ) t∈I normal, so auch
6. Jeder der Komponentenprozesse (X i t) t∈R+ (i = 1, . . . , d) ist eine reelle Brown’sche Bewegung.
Ist (X t ) t∈I normal, so auch (X i t) t∈R+ (i = 1, . . . , d). Dann sind X 1 t , . . . , X d t unabhängige
Zufallsvariable für jedes t ≥ 0.
Beweis:
1.-3. klar unter Beachtung von 19.2.2.
4. Nur die Verteilung der Zuwächse ist zu überprüfen. Für s ≤ t und B ∈ B(R d ) gilt mit dem
Transformationssatz
∫
P[AX t − AX s ∈ B] = µ t−s [A −1 (B)] = (2π(t − s)) − d ( )
s exp − 1 ||x|| 2
2 t−s
λ d [dx]
A −1 (B)
∫
y=A −1 x
= 2π(t − s) − d (
)
2
1 ||Ay||
exp
2
2 t−s
| det A| λ d [dy] = µ t−s [B].
B } {{ }
5. Hier ist für s ≤ t und B ∈ B(R d )
6. Es gilt
P[τX t − τX s
τ 2 τ 2
= ||y||2
t−s
∈ B] = N 0, t−s [ 1 t−s
τ
B] = (2π(
τ
)) − d 2 2
τ 2
∫
y=τx
= (2π(t − s)) − d 2
B
∫
(
exp − 1 2
} {{ }
=1
exp
1
τ B
||y|| 2
t−s
(
− 1 2
)
τ 2 ||x|| 2
t−s
λ d [dx]
)
λ d [dy] = µ t−s [B].
Vert(π j ◦ (X t − X s )) = π j (Vert(X t − X s )) = π j (µ t−s ) = N 0,t−s .