Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

24 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
3.18 Lemma
Seien s, t, ∈ T (Ω, R) zwei R-Treppenfunktionen.
1. Dann besitzen s und t eine geimeinsame Normaldarstellung, d.h. es gibt eine endliche Indexmenge
I und (σ i ) i∈I , (ρ i ) i∈I ∈ R I (R i ) i∈I ∈ R I parweise fremd, so dass
s = ∑ i∈I
σ i 1 Ri ,
t = ∑ i∈I
ρ i 1 Ri .
2. Es gilt {s > t}, {s < t}, {s = t}, {s < 0}, {s > 0}, {s = 0} ∈ R.
Beweis:
1. Sei
s = ∑ i∈I s
α i 1 Ai ,
t = ∑ j∈I t
β j 1 Bj
mit I s , I t endlich, (α i ) i∈Is ∈ R Is , (β j ) j∈It ∈ R It und (A i ) i∈Is ∈ (R) Is , (B j ) j∈It ∈ (R) It .
Definiere nun
R ij := A i ∩ B j ∈ R ((i, j) ∈ I s × I t ).
Dann sind die R ij paarweise fremd und es gilt
∑
s = α i R ij , t =
(i,j)∈I s×I t
Nun folgt die Behauptung mit
σ ij = α i , ρ ij = β j
((i, j) ∈ I).
∑
(i,j)∈I s×I t
β j R ij .
2. Sei
s = ∑ i∈I
σ i 1 Ri ,
t = ∑ i∈I
ρ i 1 Ri
eine gemeinsame Normaldarstellung von s und t. Dann gilt
und analog für die anderen Fälle.
{s > t} = ⋃ i∈I
σ i >ρ i
R i ∈ R,
{s > 0} := ⋃ i∈I
σ i >0
R i
✷
3.19 Satz
1. Der Raum T (Ω, R) ist ein Vektorverband messbarer Funktionen.
2. Der Raum T (Ω, A) ist der Vektorverband der A-messbaren Funktionen, die nur endlich viele
reelle Werte annehmen.
3. Der Raum
T + (Ω, R) =
{
t = ∑ }
α i 1 Ai , I endlich, α i ∈ R + , A i ∈ R
i∈I
ist ein Kegelverband.
4. Die Menge L 0 (Ω, A) aller messbaren Funktionen ist ein Kegelverband, die Menge aller reellen
A-messbaren Funktionen sogar ein Vektorverband.
Beweis: