Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

174 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
Die Unabhängigkeit der Zuwächse bleibt erhalten, die Stetigkeit der Pfade ist klar. Aus der
Normalität folgt
d⊗
d⊗
VertX t = µ t = N 0,t = VertX i t
1
i=1
und VertX 0 =
d⊗
ɛ 0 und damit die Unabhängigkeit.
1
✷
20.9 Definition
Die Verteilung N d :=
d⊗
N 0,1 = µ 1 heißt d-dimensionale Standard-Normalverteilung. Gaußmaß
1
oder d-dimensionale Normalverteilung heißt jedes Bildmaß T (N d ) unter einer affin-linearen Abbildung
T : x ↦→ Ax + b des R d in sich. Dabei ist A eine reelle d × d-Matrix und b ∈ R d . Sie heißt
ausgeartet, wenn det A = 0.
Eine R d -wertige Zufallsvariable heißt Gauß’sch, wenn ihre Verteilung ein Gaußmaß ist. Ein stochastischer
Prozess heißt Gauß-Prozess, wenn seine endlich-dimensionalen Randverteilungen Gaußmaße
sind. Ein reller Gauß-Prozess (X t ) t∈I heißt zentriert, wenn E[X t ] = 0 (t ∈ I).
20.10 Beispiele
1. Sei d = 1. Dann gilt:
T (N 1 ) ausgeartet ⇐⇒ T = b konstant ⇐⇒ T (N 1 ) = ɛ b =: N b,0 .
2. Seien
t i ≥ 0, b i ∈ R, T i : x i ↦→ √ t i x i + b i (i = 1, . . . , d).
Sei außerdem T i (N 0,1 ) = N bi,t i
und
A :
⎛√ t1 0
⎜
⎝
0
. ..
√
td
⎞
⎟
⎠ und T := (T 1 , . . . , T d ) : x ↦→ Ax + b.
Beh: T (N d ) =
d⊗
i=1
N bi,t i
Denn: Für B i ∈ B(R) ist
ist eine d-dimensionale Normalverteilung,
N d
[
T −1 (B 1 × . . . × B d ) ] = N d
[ d∏
=
i=1
]
T −1
i (B i ) =
d∏
i=1
d⊗
N bi,t i
[B 1 × . . . × B d ].
i=1
N 0,1
[
T
−1
i (B i ) ] =
d∏
N bi,t i
[B i ]
i=1
3. Jedes Bildmaß eines Gaußmaßes unter affin-linearen Transformationen ist ein Gauß-Maß.