Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

15. GRENZWERTSÄTZE 135
Für f ∈ C (k) (R) gilt nach 15.4
sup
x∈R
∫
∣
∫
f(x + y)P S ∗ n
[dy] −
f(x + y)N 0,1 [dy] ∣ = ||(U 1 ◦ . . . ◦ U n )f − (V 1 ◦ . . . ◦ V n )(f)||
n∑
≤ ||U i f − V i f||.
i=1
Entwicklung von f in seine Taylorreihe ergibt mit der Lagrange’schen Form des Restgliedes
f(x + y) =
k−1
∑
j=0
f (j) (x)
y j + f (k) z(x, y) yk
j!
k!
für ein geeignetes x ≤ z(x, y) ≤ x + y. Für j ≤ k, i ≤ n ist X j i P-integrierbar, da für p = k j ≥ 1
und 1 p + 1 q
= 1 mit der Hölder’schen Ungleichung
N 1 (|X j i |) ≤ N p(|X j i |)N q(1) =
( ∫ |X i | j k j dP) 1 p = E[|Xi | k ] 1 p < ∞
gilt. Mit geeignetem x ≤ z = z(x, y) ≤ x + y
s n
gilt dann
U i f(x) =
=
=
k−1
∑
j=0
k−1
∑
j=0
k−1
∑
j=0
f (j) (x)
j!
f (j) (x)
j!
f (j) (x)
j!
∫
= V i f(x) + 1
k!s k n
= V i f(x) + f (k) (x)
+ 1
k!s k n
− 1
k!s k n
y j P X i [dy] + 1
sn k!
∫
∫ ( y
) jPXi
[dy] + 1 ∫
s n k!
f (k) (z(x, y))y k P X i [dy]
sn
f (k)( z(x, y )( y
) kPXi
)
[dy]
s n s n
∫ ( ( y
) 2
y j N 0,
)[dy] + 1 ∫
f (k)( z(x, y )( y
) kPXi
)
[dy]
s n k!
s n s n
( ∫
f (k)( z(x, y )
∫
) y k P Xi [dy] − f (k)( z(x, y )
)
) y k N
s n s 0,σ 2
i
[dy]
n
( ∫
∫
)
k!s k y k P Xi [dy] − y k N 0,σ 2
i
[dy]
n
∫ (
f (k)( z(x, y ) )
) − f (k) (x) y k P Xi [dy]
s
∫ n
(
f (k)( z(x, y ) )
) − f (k) (x) y k N
s 0,σ 2
i
.
n
Nun gibt es, da f (k) gleichmäßig stetig ist zu ɛ > 0 ein δ > 0, so dass
|x 1 − x 2 | ≤ δ ⇒ |f (k) (x 1 ) − f (k) (x 2 )| ≤ ɛ.