Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

4. DAS INTEGRAL 35
“3. ⇒ 1.”: Sei Œ f ≥ 0. Dann ist f ∈ L 0 +(Ω, A) = (E σ (Ω, A, m)) + und
Nach 4.7.4 ist f integrierbar.
µ σ (f) =
∫ ∗
fdm =
∫ ∗
|f|dm < ∞.
✷
4.12 Satz (Beweisprinzip der Maßtheorie)
Ist ν : L 0 +(Ω, A) → R + ein Daniell-Integral, d.h.
ν(sup t n ) = sup ν(t n ) ((t n ) n∈N ∈ (T (Ω, A)) N , t n isoton) (∗)
n∈N n∈N
und gilt
so gilt
Außerdem ist
Dann ist
ν(1 A ) = m[A] (A ∈ A),
∫ ∗
ν(f) = fdm (f ∈ L 0 +(Ω, A)).
f ∈ L 1 (Ω, A, m) ⇐⇒ ν(f + ), ν(f − ) < ∞.
∫
fdm = ν(f + ) − ν(f − ).
Beweis: Wie in 4.5 zeigt man, daß die Bedingung (∗) äquivalent ist zur Daniell-Eigenschaft auf
L 0 +(Ω, A).
Wegen der Linearität von ν ist ν = m auf E + (Ω, A, m) und wegen der abgeschwächten Daniell-
Eigenschaft auch ν = µ σ auf (E + (Ω, A, m)) σ = (E σ (Ω, A, m)) + Der Rest folgt wie in 4.9. ✷
4.13 Beispiel
1. Sei a ∈ Ω, m = ɛ a .
Beh: Dann ist ∫ ∗
fdɛ a = f(a) (f ∈ L 0 +(Ω, A)).
Denn: Sei f ɛ a -integrierbar und f meßbar. Dann ist
{
L 0
ν :
+(Ω, A) → R +
f ↦→ f(a)
ein Daniell-Integral mit
Die Behauptung folgt dann aus 4.12.
ν(1 A ) = 1 A (a) = ɛ a (A) (A ∈ A).
2. Beh.: Sind m 1 , m 2 Maße auf A, so ist
∫ ∗ ∫ ∗ ∫ ∗
fd(m 1 + m 2 ) = fdm 1 + fdm 2
und falls f ∈ L 0 (Ω, A), dann gilt
(f ∈ L 0 +(Ω, A))
f ist (m 1 + m 2 ) integrierbar ⇐⇒ f ist m 1 - und m 2 -integrierbar.