Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

7. FORTSETZUNG VON INHALTEN ZU MASSEN 67
7.9 Lemma
Sei K ein Verband, µ : K → [0; ∞] isoton und stark superadditiv, d.h.
µ[K ∪ L] + µ[K ∩ L] ≥ µ[K] + µ[L]
(K, L ∈ K).
Dann gibt es für jede antitone Folge (A n ) n∈N ∈ (P(Ω)) N mit µ ∗ [A n ] < ∞ für ein n ∈ N und jedes
ɛ > 0 eine antitone Folge (K n ) in K mit K n ⊆ A n (n ∈ N) und
µ ∗ [A n ] ≤ µ[K n ] + ɛ
n∑
i=1
1
2 i
Beweis: Mittels Induktion:
“n = 1”: Klar.
“n → n + 1”: Wie im Fall n = 1 gibt es ein K ∈ K mit K ⊆ A n+1 und
µ ∗ [A n+1 ] ≤ µ[K] + ɛ
2 n+1 .
Definiere nun K n+1 := K n ∩ K. Dann ist K n+1 ∈ K und K n+1 ⊆ A n+1 ∩ K n und es gilt
Das ist aber die Behauptung.
µ ∗ [A n ] + µ[K n+1 ] ≥ µ[K ∪ K n ] + µ[K ∩ K n ] ≥ µ[K] + µ[K n ]
≥ µ ∗ [A n+1 ] −
ɛ
n∑
2 n+1 + µ 1
∗[A n ] − ɛ
2 i .
i=1
✷
7.10 Hauptsatz
Jeder semiendliche, bzgl. eines kompakten Systems K von innen reguläre Inhalt auf einem
Halbring ist ein Prämaß.
Beweis: Sei m die Fortsetzung des Inhaltes zu einem Inhalt auf dem regulären Ring R aus 7.4.
Dann ist m von innen regulär bzgl. des kompakten Systems K ∪ und semiendlich. Also ist Œ der
Halbring ein Ring R und K ein Verband.
Sei µ := m ∗ | K . Dann ist µ isoton und stark superadditiv, denn für K, L ∈ K A, B ∈ R mit A ⊆ K
und B ⊆ L ist
Nach Definition von µ ist
m[A] + m[B] = m[A ∪ B] + m[A ∩ B] ≤ µ[K ∪ L] + µ[K ∩ L].
µ[K] + µ[L] ≤ µ[K ∪ L] + µ[K ∩ L].
Nach 2.4 ist zu zeigen, dass m stetig von oben in ∅ ist, d.h.
(A n ) n∈N ∈ (R) N , A n ↓ ∅ ⇒ m[A n ] ↓ 0.
Sei dazu ɛ > 0 und (K n ) n∈N ∈ K N eine antitone Folge mit K n ⊆ A n (n ∈ N) und µ n [A n ] ≤
µ[K n ] + ɛ. Da A n ↓ ∅, ist auch K n ↓ ∅. Also gibt es ein n ∈ N mit K n = ∅, da K ein kompaktes
System ist. Also ist µ[A n ] ≤ ɛ. Somit ist
also ist inf n∈N m[A n ] = 0.
inf m[A n] = inf µ ∗[A n ] ≤ ɛ (ɛ > 0),
n∈N n
✷