Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

6. KONVERGENZSÄTZE 57
“ ⇐ ”: Sei ɛ, δ wie in der Voraussetzung. Es gibt ein α 0 ∈ R + , so dass für α ≥ α 0
∫
|f i |dm ≤ δ.
1
α sup
i∈I
Mit 6.14 ist für i ∈ I
m[|f i | ≥ α] ≤ 1 α
∫
|f i |dm ≤ δ,
also
∫
{|f i|≥α}
Damit folgt die Behauptung für ɛ → 0.
“ ⇒ ”: Sei ɛ > 0. Dann gibt es ein α > 0 mit
∫
sup
i∈I
|f i |dm ≤ ɛ (i ∈ I).
{|f i|≥α}
|f i |dm ≤ ɛ 2 .
Damit ist für i ∈ I
∫ ∫
∫
|f i |dm = |f i |dm + |f i |dm ≤ ɛ 2 + αm[Ω],
{|f i|≥α}
{|f i|≤α}
also
∫
sup
i∈I
|f i |dm ≤ ɛ 2
+ αm[Ω] < ∞.
Setze nun δ := ɛ
2α
. Sei A ∈ A mit m[A] ≤ δ. Dann gilt
∫
∫
∫
|f i |dm =
|f i |dm +
A
A∩{|f i|≥α}
A∩{|f i| 0 ein δ > 0, dass die Bedingung aus 6.22 für g p erfüllt ist.
3. Ein Spezialfall von 2. ist:
Beh: Für jede endliche Indexmenge I und (f i ) I ∈ (L p (m)) I ist (|f i | p ) I gleichgradig integrierbar.