Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

26. ZUFÄLLIGES STOPPEN VON MARTINGALEN (OPTIONAL SAMPLING) 225
26.6 Hauptsatz
Sei I = R + , (X t , F t ) t∈I ein rechtsseitig stetiges Supermartingal. Für Optionszeiten S, T bzgl.
(F t ) t∈I gelte fast sicher
S ≤ T, ∃C ∈ R : S ≤ C, T ≤ C,
d.h. S und T sind beschränkte Optionszeiten. Dann gilt für die Zufallsvariablen X S und X T
X S ∈ L 1 (Ω, A, P), X T ∈ L 1 (Ω, A, P)
und
Ist (X t ) t∈I ein Submartingal, so gilt
X S ≥ E[X T |F S ]
fast sicher.
X S ≤ E[X T |F S ] fast sicher
und im Falle eines Martingales
X S = E[X T |F S ] fast sicher.
Beweis: Sei Œ (X t ) t∈I ein Supermartingal. Gemäß 26.5 gibt es Stoppzeiten S n ↓ S, T n ↓ T , die
Œ beschränkt sind, also mit
|S n (Ω)| < ∞, |T n (Ω)| < ∞, S n > S, T n > T (n ∈ N).
Wegen S ≤ T ist oBdA S n ≤ T n (n ∈ N). Aus 26.1 folgt
X Sn ∈ L 1 (Ω, A, P), X Tn ∈ L 1 (Ω, A, P), (n ∈ N)
und für A ∈ F S+ ⊆ F Sn
(siehe 24.3) gilt
∫
∫
X Sn dP ≥ X Tn dP.
A
A
Gemäß 24.3 ist (F Sn ) n∈N antiton, also (F S−n ) n∈−N eine Filtration und damit (X S−n , F S−n ) n∈−N0
ein Supermartingal nach 26.3 mit
sup E[X Sn ] 26.1
≤ E[X 0 ] < ∞,
n∈N 0
also ist (X Sn ) n∈N0 und ebenso (X Tn ) n∈N0 ein Supermartingal und gemäß dem Konvergenzsatz
25.13 für inverse Supermartingale fast sicher und im Mittel konvergent, und zwar wegen rechtsseitiger
Stetigkeit gegen X S ∈ L 1 (Ω, A, P) bzw. X T ∈ L 1 (Ω, A, P). Damit ist für A ∈ F S+
∫
∫
∫
∫
A
X S dP = lim
n→∞
A
X Sn dP ≥ lim
n→∞
A
X Tn dP =
A
X T dP.
26.7 Korollar (Doob’s Optional Sampling Theorem im kontinuierlichen
Fall)
Sei I = R + , (X t , F t ) t∈I ein rechtsseitig stetiges Supermartingal und (T n ) n∈N eine isotone Folge
von beschränkten Options- bzw. Stoppzeiten bzgl (F t ) t∈I . Dann ist auch (X Tn , F Tn+) n∈N bzw.
(X Tn , F Tn ) n∈N ein Supermartingal. Analog gilt die Behauptung, falls I = R + , (X t , F t ) t∈I ein
✷