Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

4. DAS INTEGRAL 41
Also ist
∫ ∗
1 An dm = 0 (n ∈ N). Somit gibt es Mengen N n ∈ A mit m[N n ] = 0, A n ⊆ N n . Mit
4.19 folgt A := ⋃ n∈N
A n ⊆ ⋃ n∈N
N n =: N ∈ A mit m[N] = 0.
5. folgt aus 3., denn ∫ ∗
gdm =
∫ ∗
fdm =
∫
∗
fdm =
∫
∗
gdm.
✷
4.21 Bemerkung
Ist f fast überall definiert und ∫ fast überall ∫ gleich einer meßbaren bzw. integrierbaren Funktion
g, so kann man nach 4.20.5 fdm := gdm wohldefinieren und f ist integrierbar genau dann,
wenn g integrierbar ist. Alle Punkte ab 4.9 gelten auch für diesen Fall.
4.22 Satz
Das Produkt einer A-meßbaren, integrierbaren Funktion und einer messbaren, fast sicher beschränkten
Funktion ist integrierbar.
Beweis: Sei f ∈ L 1 (Ω, A, m) und |g| ≤ α fast überall. Dann ist fg ∈ L 0 (Ω, A) und |fg| ≤ α|f|
fast überall. Aus dem Majorantenkriterium 4.11 folgt fg ∈ L 1 (Ω, A, m).
✷