Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

3. MESSBARE ABBILDUNGEN UND FUNKTIONEN 21
3.12 Erweiterung von Ordnung, Addition, Multiplikation auf R
1. Erweiterung von Addition und Multiplikation.
{
∞, α = +∞, β = −∞
α + β = β + α =
±∞, α ∈ R, β = ±∞
⎧
⎪⎨ ±∞, α > 0, β = ±∞
α · β = β · α = ∓∞, α < 0, β = ±∞
⎪⎩
0, α = 0, β = ±∞
Man beachte, dass i.A. −(α + β) ≠ −α − β gilt.
Die Distributivgesetze gelten weiterhin, d.h.
(α + β)γ = αγ + βγ (α, β ∈ R, γ ∈ R + ),
α(β + γ) = αβ + αγ
(α ∈ R + , β, γ ∈ R).
Die Division wird erweitert durch:
{
1
α := 0, α = ±∞
∞, α = 0
mit β α := β · 1
α .
2. Die Ordnung wird erweitert durch
−∞ < α < ∞
(α ∈ R).
Es gelten die Regeln
α ≤ β ⇒
{
α + γ ≤ β + γ (α, β, γ ∈ R),
ρα ≤ ρβ (α, β ∈ R, ρ ∈ R + ).
3. Die Potenz wird erweitert durch β α = ∞ für β = ∞, α ∈ [0; ∞].
4. Die Ausnahmeregeln sind somit
5. Damit sind die Abbildungen:
Addition: + :
Multiplikation: · :
Division: ÷ :
∞ − ∞ = −∞ + ∞ = ∞,
0 · ∞ = ∞ · 0 = 0,
0 · (−∞) = (−∞) · 0 = 0,
∞
∞ = 0,
∞ 0 = ∞.
{
R × R
→ R
(α, β) ↦→ α + β,
{
R × R
→ R
(α, β) ↦→ α · β,
{
R → R
α ↦→ 1 α , bzw. ÷ :
weiterhin stetige, also insbesondere messbare Abbildungen.
{
R × R → R
(α, β) ↦→ β α ,