Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

4. DAS INTEGRAL 33
Sei s, t ∈ E σ (Ω, A, m), s ≥ f, t ≥ g. Dann ist inf(s, t), sup(s, t) ∈ E σ (Ω, A, m) mit
inf(s, t) ≥ inf(f, g),
sup(s, t) ≥ sup(f, g).
Daraus folgt
∫ ∗ ∫ ∗
inf(f, g)dm + sup(f, g)dm ≤ µ σ (inf(s, t)) + µ σ (sup(s, t))
= µ σ (inf(s, t) + sup(s, t)) = µ σ (s + t) = µ σ (s) + µ σ (t).
Nimmt man auf der rechten Seite das Supremum über alle s, t, so folgt die zweite Ungleichung.
✷
4.8 Definition
Für jeden Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und jede positive Zufallsvariable oder P-integrierbare
Funktion X heißt
∫ ∗
E[X] := XdP
Erwartungswert von X bzgl. P. Ist X integrierbar, so ist
∫
E[X] = XdP.
4.9 Hauptsatz
Seien f, g ∈ L(m) bzw. f, g ∈ L 1 (Ω, A, m). Dann ist auch αf ∈ L(m) bzw. ∈ L 1 (Ω, A, m) für
α ∈ R und f + g, inf(f, g), sup(f, g) ∈ L(m) bzw. ∈ L 1 (Ω, A, m) und es gilt:
∫ ∫
1. f ≤ g ⇒ fdm ≤ gdm,
(Isotonie)
2.
3.
∫
∫
αfdm = α
∫
∫
(f + g)dm =
fdm,
∫
inf(f, g)dm +
sup(f, g)dm,
(Homogenität)
(starke Additivität)
∫
Insbesondere ist f ↦→ fdm eine positive Linearform auf dem Vektorverband L 1 (Ω, A, m) der
reellen integrierbaren Funktionen.
Beweis:
1. Klar nach 4.7.1.
2. Für α ≥ 0, d.h. für die positive Homogenität folgt die Bahauptung aus 4.7.3. Für α = −1 gilt
Daraus folgt die Homogenität.
∫
∫
−fdm =
∗
∫ ∗ ∫
−fdm = − fdm = −
fdm.