Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

12. 0-1-GESETZE 111
12.5 Hauptsatz
Seien J ein Indexmenge und (Ω ′ j , A′ ) Messräume (j ∈ J). Ist
• (X i ) i∈I mit X i : Ω → Ω i und A − A i -messbar eine unbhängige Familie von Zufallsvariablen,
• (I j ) j∈J eine Zerlegung von I und
• (Y j ) j∈J mit Y j : Ω Ij → Ω ′ j und A Ij − A ′ j-messbar (j ∈ I j ),
so ist
(Y j ◦ ⊗ )
X i unabhängig.
i∈I j
j∈J
Gilt I j = {j} so folgt, dass (Y j ◦ X j ) j∈J unabhängig ist.
Beweis: Sei Z j := ⊗ i∈I j
X i . Dann ist
(
σ(Z j ) = σ(X i : i ∈ I j ) 9.1 ⋃ )
= σ σ(X i ) ,
i∈I j
Nach 12.4 ist σ(Z j )) j∈J ein unabhängiges System. Damit ist
σ(Y j ◦ Z j ) = Z −1
j
(Y −1
j
(A ′ j)) ⊆ Z −1
j (A Ij ) = σ(Z j ),
also sind die (Y j ◦ Z j ) j∈J unabhängig.
✷
12.6 Definition
Sei (A n ) n∈N eine Folge von Unter-σ-Algebren von A, also z.B. A n = σ(X n ) für Zufallsvariablen
X n und
( ⋃ )
T n := σ A i
die von (A i ) i≥n erzeugte σ-Algebra. Dann heißt
T ∞ :=
die σ-Algebra der terminalen Ereignisse der Folge (A n ) n∈N bzw. (X n ) n∈N .
i≥n
∞⋂
n=1
12.7 Hauptsatz (0-1-Gesetz von Kolmogoroff)
Sei (A n ) n∈N eine unabhängige Folge von σ-Algebren. Dann gilt
T n
P[A] = 0 oder P[A] = 1 (A ∈ T ∞ ).
Beweis: Sei A ∈ T ∞ und
D A := { D ∈ A : P[A ∩ D] = P[A] · P[D] } .
Dann ist D A ein Dynkin-System.
Es genügt zu zeigen, dass A ∈ D.
Denn: Dann ist P[A] = P[A] 2 . Daraus folgt die Behauptung.