Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

14. SCHWACHE KONVERGENZ VON VERTEILUNGEN 123
2. Sei (µ n ) n∈N ∈ (M b +(E)) N eine schwach gegen µ ∈ M b + konvergente Folge und A ∈ B(E). Dann
ist nicht notwendigerweise
lim
n→∞ µ n[A] = µ[A].
Beispielsweise sei im vorangegangenen Beispiel A = {x 0 }. Dann ist
lim ɛ x n
[A] = 0 ≠ 1 = ɛ x0 [A].
n→∞
3. Sei E = R und (x n ) n∈N ∈ R N eine Folge mit x n → x. Dann ist
(ɛ xn ) vage
−−→ 0,
denn für f ∈ K(R) ist x n ∉ Trf für schließlich alle n ∈ N und damit
∫
fdɛ xn = f(x n ) = 0
für schließlich alle n ∈ N. Allerdings konvergiert (ɛ xn ) nicht schwach, da 0 ∉ M 1 +(R).
14.4 Satz
Sei (µ n ) n∈N ∈ (M b +(E)) N und µ ∈ M b +(E). Ist E lokal kompakt und im Unendlichen abzählbar,
so sind äquivalent
1. µ n
schwach
−−−−−→ µ,
2. µ n
vage
−−→ µ ∧ µ n [E] −→ µ[E].
Beweis:
“1. ⇒ 2.”: trivial.
“2. ⇒ 1.”: Da E lokal kompakt und im Unendlichen abzählbar ist, gibt es eine Folge (g n ) n∈N ∈
(K(E)) N mit 0 ≤ g n ≤ 1 und g n ↑ 1. Wegen der Voraussetzung und majorisierter Konvergenz
gibt es zu ɛ > 0 ein g ∈ K(E) mit 0 ≤ g ≤ 1 und
∫
µ n [E] ≤ µ[E] + ɛ ≤ gdµ + 2ɛ
für schließlich alle n ∈ N. Sei nun f ∈ C b (E). Dann ist fg ∈ K(E) und es gilt
∫ ∫ ∣ ∣ ∫ ∫
∫ ∫ ∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣
∣ fdµ − fdµ n ≤ fdµ − fgdµ ∣ + ∣ fgdµ − fgdµ n
∫
+ ∣
∫
fgdµ n −
fdµ n
∣ ∣∣
≤ ||f||
∫
1 − gdµ
} {{ }
=µ[E]− R gdµ≤ɛ
∫
+ɛ + ||f||
für schließlich alle n ∈ N. Damit folgt die Behauptung für ɛ → 0.
1 − gdµ n ≤ 3||f||ɛ + ɛ
} {{ }
≤2ɛ
✷