Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

118 KAPITEL 3. GESETZE DER GROSSEN ZAHLEN
Dann ist
1
n S n ≥ 1 n
∑L n
≥ α n
j=1
∑
i∈I 1∪...∪I Ln
X i = 1 n
∑L n
j=1
⎛
∑L n
N j = α − α n
⎝n −
N j
1 ∑
N j · ·
N j
j=1
i=1
X Kj+i−1
} {{ }
≥α
N j
⎞
⎠ .
Konstruiert man die zufälligen Intervalle minimal hinsichtlich Anfangspunkten K j und Mächtigkeiten
N j , so zeigt sich, dass ’im Mittel’ der relative Verlust 1 n
( ∑L n )
n− N j an Indizes für n → ∞
gegen 0 strebt. Damit ist dann lim
n→∞ E[ 1
n S n]
≥ α wie zu zeigen.
4. Zur Konstruktion von L n und den dazugehörigen Intervallen I 1 , . . . , I Ln definieren wir für k ∈ N
die Zufallsvariable M k : Ω → N ∪ {∞} durch
{
M k := inf n ∈ N : 1 n
Gemäß (∗∗) ist M k fast sicher endlich.
n∑
i=1
j=1
}
X k+i−1 ≥ α .
Beh: M k ist messbar (k ∈ N).
Denn: Für γ ∈ R ist {M k ≤ γ} =
[γ]
⋃
{M k = n} und
n=1
{M k = 1} = {X k ≥ α} ∈ A,
n∑
{M k = n} =
{
1
n
i=1
}
X k+i−1 ≥ α ∩
{
1
n−1
n−1
∑
i=1
}
X k+i−1 < α ∈ A (n ≥ 2).
Die M k sind identisch verteilt wegen
Vert
(
1
n
)
n∑
X k+i−1
i=1
10.18
=
n
∗
i=1
Vert(
1
n X k+i−1
)
= n ∗
i=1
Vert(
1
n X n
)
Setze K 0 = N 0 = 0, also I 0 = ∅ und rekursiv für j ≥ 0 auf Ω
K j+1 := inf{k ∈ N : k ≥ K j + N j , k + M k ≤ n − 1}
Setze L n = inf{j : K j < ∞}. Damit ist 0 ≤ L n ≤ n − 1. Definiere außerdem
Für P-fast alle ω ∈ Ω ist nun
L∑
n(ω)
n −
j=1
N j (ω) =
N j+1 =
{
M Kj+1 , K j+1 < ∞,
∞ K j+1 = ∞.
L
∣
⋃ n(ω)
∣{1, . . . , n} \ I j (ω) ∣ ≤
j=1
n∑
1 {Mk ≥n−k(ω)}
k=1