Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

18. MARKOFF’SCHE SCHAREN UND HALBGRUPPEN 163
18.8 Hauptsatz
Für jede Markoff’sche Schar (P s,t ) s,t∈I und jedes Wahrscheinlichkeitsmaß µ auf (E, B) wird
s≤t
eine projektive Familie (P J ) J⊂⊂I von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (E I , B I ) definiert. Ist
J = {t 1 , . . . , t n } mit t 1 < . . . < t n , so ist diese definiert durch
∫ ∫
∫
P J [B 1 × . . . × B n ] := µ[dx 0 ] P 0,t1 [x 0 , dx 1 ] . . . P tn−1 ,t n
[x n−1 , dx n ]1 B1 (x 1 ) . . . 1 Bn (x n ).
Mit t 0 = 0 und der Projektion
π : (x 0 , . . . , x n ) ↦→ (x 1 , . . . , x n )
gilt
( ⊗
n
P J = π P ti−1 ,t i
).
i=1
Beweis: Für K i [x 0 , . . . , x i−1 , B i ] := P ti−1 ,t i
[x i−1 , B i ] ist
P J [B 1 × . . . B n ] =
(
µ
n⊗
K i
)[E × B 1 × . . . × B n ] =
i=1
(
= π µ
(
µ
n⊗ ) [π
K −1 i (B 1 × . . . × B n ) ]
i=1
n⊗
K i
)[B 1 × . . . × B n ].
i=1
Also ist P J ist Wahrscheinlichkeitsmaß auf B J .
Zu zeigen ist πJ H(P H) = P J (J ⊆ H ⊂⊂ I).
Für J ⊆ H ⊂⊂ I gibt es eine Folge (H i ) {i=1,...,k} mit H i+1 \ H i = 1 und J = H 1 ⊆ H 2 ⊆ . . . H k =
H. Deshalb ist ΠH \ J einelementig, d.h. es ist
Dann ist
und s j /∈ J für ein j ∈ {1, . . . , n + 1}. Nun sei
Dann ist
In Fall j ≤ n ergibt sich
J = {t 1 , . . . , t n } mit t 1 ≤ . . . ≤ t n .
H = {s 1 ≤ . . . ≤ s n+1 } mit s 1 ≤ . . . ≤ s n+1
A 0 = E, A i = B i (1 ≤ i < j), A j = E, A i = B i−1 (j < i ≤ n + 1).
(π H J ) −1 (B 1 × . . . × B n ) = A 1 × . . . × A n .
π H J (P H)[B 1 × . . . × B n ] = P H [A 1 × . . . × A n+1 ]
∫
∫
∫
= µ[dx 0 ]1 A0 (x 0 ) P 0,s1 [x 0 , dx 1 ]1 A1 (x 1 ) . . . P sj−1 ,s j
[x j−1 , dx j ]1 Aj (x j )
∫
P sj,s j+1
[x j , dx j+1 ]1 Aj+1 (x j+1 )f(x j+1 )
mit
∫
f(x j+1 ) =
∫
=
∫
P sj+1 ,s j+2
[x j+1 , dx j+2 ]1 Aj+2 (x j+2 ) . . . P sn,s n+1
[x n , dx n+1 ]1 An+1 (x n+1 )
∫
P tj,t j+1
[x j+1 , dy j+1 ]1 Bj+1 (y j+1 ) . . . P tn−1 ,t n
[y n−1 , dy n ]1 Bn (y n ),