Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

26. ZUFÄLLIGES STOPPEN VON MARTINGALEN (OPTIONAL SAMPLING) 227
26.11 Korollar
Sei I ⊆ R + und (X t ) t∈I ein rechtsseitig stetiges Martingal oder positives Submartingal. Dann gilt
für p > 1
|| sup X t || p ≤
p
t∈I p − 1 sup ||X t || p .
t∈I
Ist insbesondere I kompakt mit t n = max{t : t ∈ I}, so ist
|| sup X t || p ≤
t∈I
p
p − 1 sup
t∈I
||X t || p =
p
p − 1 sup ||X tn || p .
n∈N
Beweis: siehe [BW], 46.3.
26.12 Korollar
Sei I = R + und (X t ) t∈I eine normale Brown’sche Bewegung. Dann gilt für α, t > 0
P[ sup X s ≥ α] ≤ exp ( − α2
2 t) .
0≤s≤t
Beweis: Anwendung von 26.10 auf das Martingal ( exp ( αX t − α2
2 t)) . Siehe [BW], 46.5.
t>0