Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

10 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
Beweis:
1. Definiere X als die kanonische Injektion
X :
{
A → Ω
ω ↦→ ω.
Dann ist
also
X −1 (E) = {X −1 (E) : E ∈ E} = {A ∩ E : E ∈ E} = A ∩ E,
A ∩ σ Ω (E) = X −1 (σ Ω (E)) 1.8
= σ A (X −1 (E)) = σ A (A ∩ E).
2.
Beh: Ist A ∈ A so gilt A ∩ A = {B ∈ A : B ⊆ A}
“⊆”: Sei E ∈ A ∩ A. Dann gibt es ein  ∈ A mit E = A ∩ Â, also E ∈ A und E ⊆ A.
“⊇”: Sei E ∈ A und E ⊆ A. Dann gilt E = A ∩ E ∈ A ∩ A.
1.10 Korollar
Sei Ω ein topologischer Raum und A ⊆ Ω. Dann sind die Borel’schen Mengen eines Unterraumes
A genau die Elemente der Spur von B(Ω) in Ω, d.h.
B(A) = A ∩ B(Ω).
✷
Beweis: Es gilt
1.11 Beispiele
B(A) 1.6
= σ(G(A)) = σ(A ∩ G(Ω)) 1.9
= A ∩ σ(G(Ω)) 1.6
= A ∩ B(Ω).
1. B(R) := σ R {(−∞; α〉, α ∈ R} = σ R {〈α; ∞), α ∈ R} mit 〈∈ { [, ( } , 〉 ∈ { ], ) } .
2. Versieht man R = [−∞; ∞] mit der Metrik, die die Schränkungstransformation
⎧
⎪⎨ ∞, x = 1
1
g : x ↦−→
1−||x||
x ∈] − 1; 1[
⎪⎩
−∞ x = −1
zu einer Isometrie macht, so ist bekanntlich R homöomorph zu [−1; 1] und R ein affiner Teilraum
von R, also
B(R) = R ∩ B(R) = {A ∈ B(R) : A ⊆ R},
B(R) = { B ∪ A : B ∈ B(R), A ⊆ {−∞, ∞} } ,
B(R) = σ R
{
[−∞; α〉, α ∈ R
}
= σR
{
〈α; ∞] : α ∈ R
}
.
✷