Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

228 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
27 Markoff-Prozesse
Sei stets (Ω, A, P, (F t ) t∈I ) ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum, (X t , F t ) t∈I ein an die Filtration
adaptierter Prozess mit Werten in einem Messraum (E, B) und I total geordnet.
27.1 Definition
Der Prozess (X t , F t ) t∈I heißt Markoff-Prozess, wenn er die elementare Markoff-Eigenschaft besitzt,
d.h.
P[X t ∈ B|F s ] = P[X t ∈ B|X s ] fast sicher (s < t, B ∈ B).
Man schreibt auch (Ω, A, P, (X t ) t∈I ).
27.2 Bemerkung
1. In Worten ausgedrückt heißt das, dass für das Verhalten des Prozesses in der Zukunft t > s die
Information über die Vergangenheit gleichwertig ist mit der Information σ(X s ) der Gegenwart
s.
2. Die Formel gilt auch für s = t, da 1 X
−1
t (B) messbar ist sowohl bzgl. F t als auch bzgl. σ(X t ).
Damit gilt hier fast sicher
27.3 Satz
P[X t ∈ B|F t ] = P[X t ∈ B|X t ] = 1 X
−1
t (B) .
Sei (X t ) t∈I eine unabhängige Familie von Zufallsvariablen und (Ft ∗ ) t∈I := (σ(X s : s ≤ t) (t ∈
I)) t∈I die kanonische Filtration. Dann ist (X t ) t∈I ein Markoff-Prozess bzgl. der kanonischen
Filtration.
Beweis: Für s < t und B ∈ B ist σ(X t ) unabhängig von F ∗ s . Damit ist nach 22.15 fast sicher
P[X t ∈ B|F ∗ s ] = E[1 {Xt∈B}|F ∗ s ] = E[1 {Xt∈B}] = P[X t ∈ B] = P[X t ∈ B|X s ].
✷
27.4 Lemma
Sei (X t ) t∈I ein stochastischer Prozess und (F ∗ t ) t∈I die kanonische Filtration. Genau dann ist
(X t ) t∈I ein Markoff-Prozess bzgl. der kanonischen Filtration, wenn fast sicher
P[X t ∈ B|X s1 , . . . , X sn ] = P[X t ∈ B|X sn ]
(s 1 < . . . < s n < t, B ∈ B).
Beweis:
“⇒”: Sei also
E[1 {Xt∈B}|F ∗ s ] = E[1 Xt∈B}|X sn ] fast sicher.
Mit 22.14 ist dann fast sicher
E[1 {Xt∈B}|X s1 , . . . , X sn ] = E [ E[1 {Xt∈B}|F ∗ s ]|X s1 , . . . , X sn
]
= E [ E[1 {Xt∈B}|X sn ]|X s1 , . . . , X sn
]
= E[1{Xt∈B}|X sn ].