Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

66 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
Nun zurück zum Beweis der Behauptung. Sei (L n ) n∈N ∈ (K ∪ ) N mit
es nach dem eben gezeigten eine Folge (K n ) n∈N ∈ K N mit
∞⋂ ∞⋂
∅ ≠ K i ⊆ L i ,
i=1
i=1
also die Behauptung. Klar ist, dass K ∪ ein Verband ist.
7.7 Beispiele
1. Sei Ω Hausdorff’sch, also z.B. metrisch. Dann ist
n⋂
L i ≠ ∅ (n ∈ N). Dann gibt
i=1
n⋂
K i ≠ ∅ (n ∈ N). Damit gilt
i=1
K ⊆ K(Ω) := {K ⊆ Ω : K kompakt}
nach dem Cantor’schen Durchschnittssatz ein kompaktes System.
2. Sei I eine beliebige Indexmenge, Ω := ∏ Ω i und K i ⊆ P(Ω i ) kompakte Systeme.
Beh: Dann ist
{ ∏
K := K j ×
j∈J
i∈I
∏
i∈I\J
ein kompaktes System in Ω. Dabei bedeutet
( ∏ )
Denn: Sei (A n ) n∈N = A ni
Also ist
und damit
7.8 Definition
i∈I
}
Ω i : J ⊂⊂ I, K j ∈ K j (j ∈ J)
J ⊂⊂ I ⇐⇒ J ⊆ I, J endlich.
n∈N
∈ K N mit
∅ ≠ A 1 ∩ . . . ∩ A n = ∏ A 1i ∩ . . . ∩ A ni
n=1
i∈I
A 1i ∩ . . . A ni ≠ ∅ (i ∈ I, n ∈ N)
∞⋂ ∞⋂ ∏
A n = A ni = ∏
n=1 i∈I
∞⋂
A ni
i∈I n=1
} {{ }
≠∅
1. Sei K ⊆ P(Ω) und µ : K → [0; ∞] isoton. Definiere dann
⎧
⎨P(Ω) → [0; ∞]
µ ∗ :
⎩
A ↦→ sup µ[K].
K∈K
K⊆A
(n ∈ N).
≠ ∅.
✷
2. Ein Inhalt m auf einem Halbring H heißt von innen K-regulär, wenn:
m[A] = sup {m[B] : B ∈ H, ∃K ∈ K : B ⊆ K ⊆ A} (A ∈ H).
Anders ausgedrückt heißt das: Für µ = m ∗ | K ist m = µ ∗ | H für K ⊆ H.
3. Ist ein Inhalt m bzgl.
K := {A ∈ H : m[A] < ∞} = {m < ∞}
von innen regulär, so heißt m semiendlich.