Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

10. UNABHÄNGIGKEIT 99
4. Sind X und Y unabhängig, so sing sie wegen 10.13 unkorrelliert.
5. Sei Var[X] · Var[Y ] > 0. Dann gilt wegen der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung aus 5.8
kor[X, Y ] ≤ 1. Genau dann gilt E[X · Y ] = σ[X]σ[Y ], wenn X und Y linear abhängig sind,
d.h. wenn es α, β ∈ R gibt mit Y = αX + β.
Damit ist genau dann kor[X, Y ] = 1, wenn X − E[X] und Y − E[Y ] linear abhängig sind. Dann
sind X und Y auch stochastisch abhängig.
10.16 Satz (Gleichung von Bienamé)
Für X 1 , . . . , X n ∈ L 2 (Ω, A, P) gilt
Var[X 1 + . . . + X n ] =
n∑
Kov[X i , X j ].
i,j=1
Sind X 1 , . . . , X n paarweise unkorrelliert, dann gilt die Gleichung von Bienamé
[
∑ n ]
Var X i =
i=1
n∑
Var[X i ].
i=1
Beweis: Definiere durch Zentrieren am Erwartungswert
˜X i := X i − E(X i ) (i = 1, . . . , n).
Dann gilt
[ ∑ n ] [ ( ∑ n
Var X i = E
i=1
i=1
[ ∑
n
= E
i,j=1
X i − E [ n ∑
˜X i ˜Xj
]
=
i=1
] ) ] [
2 ( ∑ n
X i = E
n∑
E[ ˜X i , ˜X j ] =
i,j=1
i=1
˜X i
) 2
]
n∑
Kov[X i , X j ].
i,j=1
Sind X 1 , . . . , X n paarweise unkorrelliert, folgt
[ ∑
n ] n∑
n∑
Var X i = Kov[X i , X i ] = Var[X i ].
i=1 i=1
i=1
✷
10.17 Definition
Seien m 1 , . . . , m n endliche Borel-, also Radon-Maße auf R p und
⎧
⎪⎨ (R p ) n → R p
S n :
n∑
⎪⎩ (x 1 , . . . , x n ) ↦→ x i .
Dann heißt das Bildmaß des Produktmaßes
Faltung von m 1 , . . . , m n .
( ⊗
n )
S n m i =:
i=1
n
∗
i=1
i=1
m i =: m 1 ∗ . . . ∗ m n