Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

204 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
3. Sei (X t ) t∈R+ eine Brown’sche Bewegung in R d und s ≤ t. Dann ist
Es ist
Y t := ||X t || 2 − dt = ||X t − X s || 2 + 2〈X t , X s 〉 − ||X s || 2 − dt ∈ L 1 (Ω, A, P).
E[〈X t , X s 〉|F ∗ ≤s] =
Damit ist nach 23.13 fast sicher
23.17 Bemerkungen
d∑
i=1
E[XsX i t|F i ≤s] ∗ 22.13
=
d∑
i=1
Xs i E[Xt|F i ≤s]
∗ = ||X s || 2 .
} {{ }
=Xs
i
E[Y t |F ∗ ≤s] 22.15
= E [ ||X t − X s || 2] + 2||X s || 2 − ||X s || 2 − dt
20.3
= d(t − s) + ||X s || 2 − dt = Y s .
1. Der Beweis von 23.16 ist gilt ebenso für Brown’sche Bewegungen im R d mit Filtration (F t ) t∈R+ ,
d.h. für adaptierte Prozesse (X t ) t∈R+ mit Zustandsraum R d und fast sicher stetigen Pfaden, so
dass für 0 ≤ s < t der Zuwachs X t − X s unabhängig von F s und µ t−s -verteilt ist.
2. Brown’sche Bewegungen lassen sich durch Martingaleigenschaften kennzeichnen. Es gilt das
Resultat von P. Lévy (1948):
Sei (X t ) t∈R+ mit X t ∈ L 2 (Ω, A, P) (t ∈ R + ) mit fast sicher stetigen Pfaden. Genau dann ist
(X t ) t∈R+ eine reelle Brown’sche Bewegung, wenn (X t ) t∈R+ und (X 2 t − t) t∈R+ Martingale sind.
Zum Beweis siehe [BW], p. 407).
✷