Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

25. MARTINGALKONVERGENZSÄTZE 213
wobei I 0 := {s i : i ∈ I 0 } eine abzählbare und rechtsseitig dichte Teilmenge in I ist. Wir definieren
zunächst für eine Funktion f : I → R
U ′ (a;b) (f) := sup { n ∈ N : ∃t 1 < . . . < t 2n in I mit f(t 2j−1 ) ≤ a, f(t 2j ) ≥ b (1 ≤ j ≤ n) } .
Damit ist U
(a;b) ′ (f) ≥ U (a;b)(f). Es genügt wegen monotoner Konvergenz zu zeigen:
Beh: Für jede endliche Teilmenge J = {t 1 , . . . , t n } ⊆ I mit t 1 < . . . t n ist U (a;b) (X J ) messbar und
es gilt
E [ U (a;b) ′ (X J) ] ≤ 1
b − a sup E[(X t − a) + ].
Definiere dazu die Stoppzeiten T n : Ω → J ∪ {∞} (n ∈ N) rekursiv durch
T 0 = 0,
{
min{t k ∈ J : T 2i−2 < t k , X tk ≤ a} falls {t k ∈ J : T 2i−2 < t k , X tk ≤ a} ≠ ∅
T 2i−1 =
t n falls {t k ∈ J : T 2i−2 < t k , X tk ≤ a} = ∅,
{
min{t k ∈ J : T 2i−1 < t k , X tk ≥ b} falls {t k ∈ J : T 2i−1 < t k , X tk ≥ b} ≠ ∅
T 2i =
t n falls {t k ∈ J : T 2i−2 < t k , X tk ≥ b} = ∅,
Beh.: Es gilt {T i ≤ t} ∈ F t
Denn: Wegen
(t ∈ I).
{T i ≤ t} =
t∈I
n⋃
{T i = t k }
k=1
t k ≤t
genügt es zu zeigen, dass {T i = t k } ∈ F tk ⊆ F t . Dies zeigt man mit Induktion:
“i = 0”: Klar.
“2i − 2 → 2i − 1”: Für k ≤ n ist
(
) ( ⋃
{T 2i−1 = t k } = {T 2i−2 < t k } ∩ {X tk ≤ a} \
und ebenso für {T 2i = t k } ∈ F tk .
Also sind alle T i Stoppzeiten. Offenbar ist
U (a;b) (X I )(ω) ∈ { 0, . . . , [ ]}
n
2
und für i ≤ [ n
2
]
ist
{U ′ (a;b) (X J) ≥ i} =
⋃
{s 1U ′ (a;b) (X J )
X T2i − X T2i−1 =
U ′ (a;b) (X J) = U ′ (0;b−a)(
((Xt − a) +) t∈J)
.
{
Xtn − X 2U ′
(a;b) (X J )+1, T 2U ′
(a;b) (X J )+1 < t n
≤ X tn .
0, T 2U ′
(a;b) (X J )+1 ≥ t n