Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

166 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
Schließlich ist
P µ x s
[{x}]P s,t [x, B] 9.17
= ( P µ x s
⊗P s,t
)
[{x} × B] = P
µ
(x s,x t) [{x} × B] = Pµ [{x s = x} ∩ {x t ∈ B}].
Also ist die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit und damit die heuristische Interpretation aus
18.7 gerechtfertigt. ✷
18.11 Beispiele
1. Der zu
und µ := ɛ x gehörige Prozess beschreibt wegen
P s,t = 1 (s ≤ t)
P ɛx
x t
= ɛ x P 0,t = P 0,t [x, .] = 1[x, .] = ɛ x
ein irrfahrendes Teilchen, das in x startet und nach dem Start in x bleibt.
2. Sei
P s,t [x, .] = µ
(s ≤ t, x ∈ E).
Der zur Startwahrscheinlichkeit µ und P s,t gehörige kanonische Prozess hat wegen
für alle x t die identische Verteilung µ.
P µ x t
= µP 0,t = µµ = µ (t ∈ I)
3. In 20 beschäftigen wir uns mit der Brown’schen Bewegung, die als Markoff’sche Schar eine
Familie von Normalverteilungen besitzt.
4. In 21 betrachten wir den Poisson-Prozess, der als Markoff’sche Schar eine Familie von Poissonverteilungen
hat.