Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

190 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
22.9 Satz (Konvergenzeigenschaften)
Sei ((X n ) n∈N ) ∈ (L 1 (Ω, A, P)) N eine Folge, die nach dem Konvergenzkriterium der monotonen
bzw. majorisiert Konvergenz gegen X ∈ L 1 (Ω, A, P) konvergiert. Dann gilt
Beweis:
lim E[X n|B] = E[X|B] fast sicher.
n→∞
Bei monotoner Konvergenz: Sei Œ (X n ) n∈N eine aufsteigende Folge mit X n ↑ X. Die Zufallsvariable
sup Xn B ist B-messbar. Damit gilt für B ∈ B:
n∈N
∫
∫
∫
∫
∫
sup Xn B dP 6.1
= sup Xn B dP = sup X n dP 6.1
= sup X n dP = XdP < ∞.
B n∈N
n∈N B
n∈N B
n∈N
B
B
Damit ist sup Xn
B
n∈N
integriebar und es gilt
E[X|B] = sup E[X n |B] fast sicher.
n∈N
Bei majorisierter Konvergenz: Sei |X n | ≤ Y fast sicher (n ∈ N). Dann gilt
Y n := sup X k ↓ lim sup X n = X fast sicher,
k≥n n→∞
Z n := inf
k≥n X k ↑ lim inf
n→∞ X n = X fast sicher.
Damit ist −Y ≤ Z n ≤ X n ≤ Y n ≤ Y , also Z n , Y n ∈ L 1 (Ω, A, P) (n ∈ N). Damit ist fast sicher
X B 1.
= lim
n→∞ ZB n
≤ lim inf
n→∞ XB n
≤ lim sup Xn
B n→∞
≤ lim
n→∞ Y B n = X B ,
also
X B = lim
n→∞ XB n
fast sicher.
22.10 Satz (Jensen’sche Ungleichung)
Sei φ : R → R konvex und X ∈ L 1 (Ω, A, P) mit φ ◦ X ∈ L 1 (Ω, A, P). Dann gilt
φ ◦ E B [X] ≤ E B [φ ◦ X] fast sicher.
Beweis: Es gibt eine folge affin linearer Abbildungen φ n : t ↦→ a n t + b n mit a n , b n ∈ R, so dass
φ = sup φ n . (siehe z.B. [BW], 3.27). Für n ∈ N ist fast sicher
n∈N
und damit fast sicher
φ n ◦ E B [X] = a n E B [X] + b n = E B [a n X + b
} {{ n ] ≤ E B [φ ◦ X]
}
=φ◦X
φ ◦ E B [X] = sup φ n E B [X] ≤ E B [φ n ◦ X].
n∈N
✷