Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

42 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
5 L p -Räume
Stets sei (Ω, A, m) ein Maßraum.
5.1 Satz
Die Menge L ∞ (m) := L ∞ (Ω, A, m) aller rellen, A-meßbaren m-fast überall beschränkten Funktionen
ist ein Vektorverband, auf dem das Funktional
{
R Ω
→ R
N ∞ :
f ↦→ inf{α ∈ R + : |f| ≤ α fast überall}
mit inf ∅ = ∞ eine Halbnorm ist, d.h.: für f, g ∈ R Ω , α ∈ R gilt
1. N ∞ (αf) = |α|N ∞ (f), (Homogenität)
2. N ∞ (f + g) ≤ N ∞ (f) + N ∞ (g), (Dreiecksungleichung)
3. N ∞ (f) ≥ 0. (positive Definitheit)
Beweis: Klar.
✷
5.2 Beispiel
Das Produkt integrierbarer Funktionen muß nicht integrierbar sein:
Sei p > 1, Ω = N, A = P(N). Wir betrachten das Maß
m =
∞∑
n=1
1
n p+1 ɛ n
und die Funktion f : n ↦→ n. Dann ist f integrierbar, da
∫
fdm =
∞∑
n=1
n=1
n
∞
n p+1 = ∑ 1
n p < ∞.
Aber f p ist nicht integrierbar. Insbesondere ist für p = 2 die Funktion f 2 = f ·f nicht integrierbar,
denn:
∫
∞∑
f p n p ∞
dm =
n p+1 = ∑ 1
n = ∞.
5.3 Definition
Sei p ∈ R, 1 ≤ p < ∞. Eine A-meßbare Funktion f heißt p-fach integrierbar, wenn |f| p integrierbar
ist. Für p = 1 heißt sie integrierbar und für p = 2 quadratintegrierbar. Wir definieren
n=1
n=1
L p (m) := L p (Ω, A, m)
als die Menge der reellen, messbaren, p-fach integrierbaren Funktionen. Für f ∈ L p (Ω, A, m) sei
N p (f) :=
( ∫ |f| dm) 1
p p .
Ω
Dann ist
Dies gilt auch für p = ∞.
L p (m) = {f ∈ L 0 (Ω, A), N p (f) < ∞}.