Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

226 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
rechtsseitig stetiges Submartingal bzw. Martingal ist.
Beweis: Nach 24.8 ist (X Tn ) n∈N an (F Tn+) n∈N bzw. an (F Tn ) n∈N adaptiert. Beides sind nach
24.3 Filtrationen. Sind die (T n ) n∈N Optionszeiten, folgt die Behauptung daher aus 26.6. Sind die
(T n ) n∈N Stoppzeiten bzgl. (F t ) t∈I , so sind (T n ) n∈N wegen
{T i ≤ t} ∈ F t ⊆ F t+
ebenfalls Stoppzeiten bzgl. (F t+ ) t∈I und damit wegen 24.2.3 eine Optionszeit bzgl. (F t ) t∈I . Nach
der ersten Behauptung ist damit (X Tn , F Tn+) n∈N ein Supermartingal. Damit ist aber wegen F Tn ⊆
F Tn+ mit 24.3.3
X Tj = E[X Tj |F Tj ] ≥ E[E[X Ti |F Tj+]|F Tj ] = E[X Ti |F Tj ] (i > j).
und (X Tn , F Tn ) n∈N ist ein Supermartingal.
✷
26.8 Korollar
Sei I = R + , (X t , F t ) t∈I ein rechtsseitig stetiges Supermartingal bzw. Submartingal bzw. Martingal
und T eine Stoppzeit. Dann ist
(
XT ∧n , F T ∧n
)
ein Supermartingal bzw. Submartingal bzw. Martingal.
n∈N
26.9 Bemerkung
Eine Anwendung des Optional-Sampling-Theorems sind die Maximal-Ungleichungen von Doob,
die nun folgen.
26.10 Satz
Sei I ⊆ R abzählbar und (X t ) t∈I ein Submartingal. Dann gilt
αP[sup
t∈I
X t ≥ α] ≤ sup E[X t + ] (α > 0).
t∈I
Beweis: Da mit (X t ) t∈I auch (X + t ) t∈I ein Submartingal ist, genügt es, die Behauptung für X t ≥
0 (t ∈ I) zu zeigen. Aufgrung der Stetigekeit von unten von P genügt es auch, nur endliches I
anzunahmen. Seien dann
t n := max I, T := t n ∧ inf{t ∈ I|X t ≥ α}
mit inf ∅ = ∞. Dann ist T eine Stoppzeit nach 24.4.1. Dann ist mit 24.6 und 24.8, da (X t ) t∈I
progressiv messbar ist,
und damit
αP[sup X t ≥ α] ≤
t∈I
∫
{sup X t ≥ α} = {X T ≥ α} ∈ F T
t∈I
{sup X t ≥ α} X T dP 26.1
≤
t∈I
∫
{sup
t∈I
X t ≥ α} X t n
dP ≤ sup E[X t ].
t∈I
✷