Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

15. GRENZWERTSÄTZE 133
die standardisierte Summenvariable, d.h. E[Sn] ∗ = 0 und Var[S n ] = 1. Sei außerdem Φ die
stetige Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, d.h. N 0,1 [(−∞; b)] = Φ(b). Dann
sagt man, dass für (X n ) n∈N der zentrale Grenzwertsatz gilt, wenn
P Sn
also nach 14.8 und 14.10 genau dann, wenn
P[a < S ∗ n ≤ b] n→∞
−−−→ 1
Dann gilt
[
P α ≤ 1 n
√
2π
∫ b
a
(
exp
n∑
(X i − E[X i ]) ≤ β
i=1
gleichmäßig für α ≤ β ∈ R.
schwach
−−−−−→ N 0,1 ,
)
− x2
2
dxN 0,1 (a; b) = Φ(b) − Φ(a)
] ∫
− √ 1
2π
n
s n
β
n
s n
α
(
exp
)
− x2
2
dx n→∞
−−−→ 0
(a, b ∈ R, a ≤ b).
15.2 Lemma 1
Sei µ ∈ M 1 +(R) und
⎧
⎨C b (R) →
∫
C b (R)
T µ :
⎩f
↦→ f(x + y)µ[dx].
Dann ist T µ ein beschränkter, insbesondere stetiger Operator auf C b (R).
R
Beweis: Für x ∈ R ist
∫
|T µ f(x)| =
∫
f(x + y)µ[dx] ≤
|f(x + y)|µ[dy] ≤ ||f|| ∞ .
Damit ist
||T µ f|| ∞ ≤ ||f|| ∞ ,
d.h. T µ ist eine Kontraktion. Dass T µ auch stetig ist, zeigt
∫
lim |T µ f(x 1 ) − T µ f(x 2 )| ≤ lim |f(x 1 + y) − f(x 2 + y)|µ[dy]
x 1→x 2 x 1→x 2
da f gleichmäßig stetig ist.
≤ lim sup |f(x 1 + y) − f(x 2 + y)| = 0,
x 1→x 2
y∈R
✷
15.3 Lemma 2
Sind µ, ν ∈ M 1 +(R), so gilt
d.h. die Operatoren T µ und T ν kommutieren.
T µ ◦ T ν = T µ∗ν = T ν ◦ T µ ,
Beweis: Sei f ∈ C b (R) und x ∈ R Dann gilt
∫
T µ∗ν f(x) = f(x + y)(µ ∗ ν)[dy]
R
∫ ∫
10.19
= f(x + y 1 + y 2 )µ[dy 1 ]ν[dy 2 ]
R R
∫
= T µ f(x + y 2 )dν[dy 2 ] = T ν (T µ f)(x) = T ν∗µ f(x).
R
Damit ist T ν ◦ T µ = T µ∗ν
10.19
= T µ ◦ T ν . ✷