Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

18 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
3 Meßbare Abbildungen und Funktionen
Seien stets Ω, Ω ′ Mengen mit σ-Algebren A bzw A ′ in Ω bzw. Ω ′ , kurz Messräume (Ω, A), (Ω ′ , A ′ ).
3.1 Definition
Eine Abbildung X : Ω → Ω ′ heißt A − A ′ -messbar oder Zufallsvariable, wenn X −1 (A ′ ) ⊆ A. Wir
bezeichnen mit
L 0 (Ω, A) := L 0 (Ω, A, R) := {f : Ω → R; fA − B(R) − messbar}
die Menge aller messbaren Abbildungen.
3.2 Bemerkung
1. Sind B ⊇ A bzw. B ′ ⊆ A ′ , so ist jede A − A ′ -messbare Abbildung auch B − B ′ -messbar.
2. Sei X : Ω → Ω ′ eine Zufallsvariable. Gemäß 1.8 ist X −1 (A ′ ) eine σ-Algebra in Ω und offenbar
die kleinste σ-Algebra A in Ω, so dass X A − A ′ -messbar ist.
3. In der Stochastik bedeutet, dass eine Abbildung eine Zufallsvariable ist, dass die Ereignisse
’durch’ X beschreibbar sind.
{X ⊆ A ′ } := {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A ′ } = X −1 (A ′ ) (A ′ ∈ A ′ )
Also ist X genau dann eine Zufallsvariable, wenn die durch X beschreibbaren ’Ereignisse’ in A)
sind.
3.3 Satz
Sei E ′ ⊆ P(Ω ′ ) mit σ Ω ′(E ′ ) = A ′ . Dann gilt für eine Abbildung X : Ω → Ω ′ :
X ist A − A ′ -messbar ⇐⇒ X −1 (E ′ ) ⊆ A.
Beweis:
”⇒”: klar nach 3.1.
”⇐”: Ist X −1 (E ′ ) ⊆ A, so auch σ Ω (X −1 (E ′ )) ⊆ σ Ω (A) = A und damit
X −1 (A ′ ) = X −1 (σ Ω ′(E ′ )) 1.8
= σ Ω (X −1 (E ′ )) ⊆ A.
✷
3.4 Beispiel
Seien Ω, Ω ′ topologische Räume mit Systemen G(Ω), G(Ω ′ ) ihrer offenen Teilmengen, so gilt nach
Definition für jede Abbildung X : Ω → Ω ′ :
X stetig ⇐⇒ X −1( G(Ω ′ ) ) ⊆ G(Ω)
Also ist nach 3.3 jede stetige Abbildung X B(Ω) − B(Ω ′ ) Borel-messbar.