Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

15. GRENZWERTSÄTZE 139
Somit gibt es für ɛ > 0 und f ∈ C (2) (R) ein δ > 0 mit
∫
∫
sup∣
f(x + y)P S ∗ n
[dy] − f(x + y)N 0,1 [dy] ∣
da
x∈R
≤ 0 +
ɛ
+ 2||f (2) ||
2s 2 n
2s 2 n i=1
n∑
E[Xi 2 ]
} {{ }
=σi
2
} {{ }
=s 2 n
n∑
∫
i=1
∫
= ɛ 2 + ɛ 2 + ||f (2) ||
+ 1 2
{y:|y|≥δs n}
{y:|y|≥
[ ∫
ɛ y 2 N 0,1 [dy]
} {{ }
=1
δ
max
1≤i≤n
y 2 P Xi [dy]
] ∫
+2||f (2) ||
δ
{y:|y|≥ σ
max i }
1≤i≤n s n
y 2 N 0,1 [dy] + ||f (2) ||L n (δ) → ɛ,
σ i }
s n
1 δ y 2 → 0
{y:|y|≥ σ
max i
1≤i≤n s n
und y ↦→ y 2 eine N 0,1 -integrierbare Majorante nach 6.8.
Für x = 0 gilt
∫ ∫ ∣ lim ∣ fP S ∗
∣∣
n
− fdN 0,1 = 0,
und damit
∫
lim
n→∞
n→∞
∫
fdP S ∗ n
=
fdN 0,1
(f ∈ C (2) (R)).
y 2 N 0,1 [dy]
Nach 14.8 ist also P S ∗ n
schwach
−−−−−→ N 0,1 .
✷
15.9 Bemerkung
Man kann zeigen (vgl. [BW], 28.3), dass die Lindeberg-Bedingung äquivalent zu jeder der folgenden
Bedingungen:
1. Zentraler Grenzwertsatz ∧ Feller
2. Zentraler Grenzwertsatz ∧ ( (X ni ) i≤n asymptotisch vernachlässigbar
)n∈N
15.10 Korollar 1 (deMoivre-Laplace)
Für jede unabhängige Folge (X n ) n∈N identisch verteilter, reeller Zufallsvariable mit 0 <
Var[X 1 ] < ∞ gilt der zentrale Grenzwertsatz, insbesondere gilt die Fehlerabschätzung für das
Gesetz der großen Zahlen
∣
∣P
[
1
n
gleichmäßig für ɛ > 0.
n∑
i=1
√
]
|X i − E[X i ]| < ɛ − √ 1 ∫ n ɛ
σ n
2π
√ n
−ɛ
σ n
exp ( ) ∣ ∣∣
− x2 n→∞
2 dx −−−→ 0
15.11 Bemerkung
Die Gültigkeit des zentralen Grenzwertsatzes impliziert i.A. nicht die Gültigkeit des schwachen
Gesetzes, wohl aber in 15.10, da hier der Spezialfall einer identischen Verteilung vorliegt.