Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

Inhaltsverzeichnis
0 Einführung 1
0 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Maße und Integrale 5
1 σ-Algebren und ihre Erzeuger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Meßbare Abbildungen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Das Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 L p -Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 Konvergenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 Konstruktion von Maßen 61
7 Fortsetzung von Inhalten zu Maßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8 Bildmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9 Produktmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10 Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
11 Maße mit Dichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3 Gesetze der großen Zahlen 109
12 0-1-Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
13 Starkes und schwaches Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4 Grenzverteilungen 121
14 Schwache Konvergenz von Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
15 Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
16 Der Satz vom iterierten Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5 Stochastische Prozesse 149
17 Konstruktion stochastischer Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
18 Markoff’sche Scharen und Halbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
19 Prozesse mit stationären und unabhängigen Zuwächsen . . . . . . . . . . . . . . . 167
20 Die Brown’sche Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
21 Der Poisson’sche Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6 Martingaltheorie 185
22 Satz von Radon-Nikodym und bedingte Erwartungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
23 Martingale, Sub- und Supermartingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
24 Markoffzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
25 Martingalkonvergenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
26 Zufälliges Stoppen von Martingalen (Optional Sampling) . . . . . . . . . . . . . . . 223
27 Markoff-Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
iii