Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

18. MARKOFF’SCHE SCHAREN UND HALBGRUPPEN 161
18.6 Beispiele
1. Die Markoff’schen Kerne
P s,t := 1 (s ≤ t)
bilden eine normale, stationäre und translationsinvariante Markoff’sche Schar wegen
P s,t [x, B] = 1(x, B) = 1 B (x) = 1 B−x (0) = 1(0, B − x) = P s,t [0, B − x].
Die zugehörige Faltungshalbgruppe ist
µ t = P 0,t [0, .] = 1[0, .] = ɛ 0 (t ∈ I).
2. Sei µ Wahrscheinlichkeitsmaß auf (E, B) und
P s,t [x, .] = µ
(s ≤ t, x ∈ E).
Dann ist (P s,t ) s≤t ist stationäre Markoff’sche Schar mit µµ = µ, denn
∫
µµ[x, B] = µ[dy]µ[B] = µ[B]
und P t,t = µ ≠ 1 für E mehrpunktig. Also bilden die (P s,t ) s≤t keine normale Markoff’sche
Schar.
3. Mittels 10.20.3 können wir die Poisson’sche Faltungshalbgruppe zum Parameter λ > 0 durch
(π λt ) t∈R+ und π 0 := ɛ 0 definieren.
4. Die Brown’sche Halbgruppe in R d wird wiefolgt definiert. Es ist µ 0 := ɛ 0 und µ t := g t λ d mit
g t (x) :=
d⊗
1
(
g 1,t (x) =
(2πt) exp − 1 d/2 2t ||x||2) .
i=1
Wir definieren die Faltung zweier reeller integrierbarer Funktionen f und g durch
∫
f ∗ g(x) := f(x − y)g(y)λ d [dy].
Beh: Es gilt fλ d ∗gλ d = (f ∗ g)λ d .
Denn: Sei A ∈ B(R d ). Dann ist
∫
∫ ∫
fλ d ∗ gλ d [A]) = (fλ d )[A − y](gλ d )[dy] = 1 A−y (x)f(x)λ d [dx]g(y)λ d [dy]
∫ ∫
∫
9.19
= 1 A (x)f(x − y)g(y)λ d [dy]λ d [dx] = 1 A (x)(f ∗ g)(x)λ d [dy]
= (f ∗ g)λ d [A].
Dabei ist ɛ 0 Faltungseinheit nach 10.20.
Um also zu zeigen, dass obige Halbgruppe eine Faltungshalbgruppe ist, braucht man nur noch
zu zeigen.
Wegen
1
2s (y i − x i ) 2 + 1 2t y2 i = 1
g s ∗ g t = g s+t (s ≤ t)
2st(
(t + s)y
2
i − 2tx i y i + tx 2 i
(
(yi − t
t+s x i) 2 −
= t+s
2st
t2
(t+s)
x 2 2 i +
) (
=
t+s
2st y
2
i − 2t
t
t+s x2 i
t+s x iy i +
)
=
t+s
2st (y i −
)
t
t+s x2 i
t
t+s x i) 2 + 1
2(t+s) x2 i