Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

28 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
Beweis:
1. Wie 4.2 zeigt, ist µ wohldefiniert. Sind f, g ∈ E(Ω, R, m) mit (nach 3.18 existenter) gemeinsamer
Verfeinerung
n∑
n∑
f = α i 1 Ai , g = β i 1 Ai ,
i=1
i=1
so gilt:
1. Aus f ≤ g folgt α i ≤ β i (i = 1, . . . , n) und damit µ(f) ≤ µ(g).
n∑
2. Da αf = αα i 1 Ai folgt µ(αf) = αµ(f).
i=1
n∑
3. Da f + g = (α i + β i )1 Ai eine Normaldarstellung von f + g ist, folgt
i=1
n∑
µ(f + g) = (α i + β i )m[A i ] = ∑ α i m[A i ] + ∑ β i m[A i ] = µ(f) + µ(g),
i=1
da α i < 0 nur für m[A i ] < ∞ möglich ist.
n∑
2. Für f = α i 1 Ai
i=1
mit α i < 0 nur für m[A i ] < ∞ gibt es eine Normaldarstellung
m∑
f = β j 1 Bj
j=1
mit
n∑
i=1
A i ∩B j ≠∅
α i = β j , (j = 1, . . . , m).
Dabei gibt es Œ für jedes j genau ein i mit B j ⊆ A i . Damit gilt
m∑
m∑
µ(f) = β j m[B j ] =
=
j=1
n∑
α i m[A i ].
i=1
j=1
n∑
i=1
A i ∩B j ≠∅
α i m[B j ] =
n∑
i=1
α i
m ∑
j=1
B j ∩A i ≠∅
m[B j ]
3. Es gilt
µ(f) < ∞ ⇐⇒ m[A i ] < ∞ (i = 1, . . . , n mit α i ≠ 0).
Damit ist aber −f ∈ E(Ω, R, m) und
nach 1.
0 = µ(0) = µ(f − f) = µ(f) + µ(−f)
4. Ist das Maß m endlich, so ist E(Ω, R, m) = T (Ω, R) und µ(f) < ∞ (f ∈ E(Ω, R, m)). Nach 3.
ist dann −f ∈ E(Ω, R, m) und µ(αf) = αµ(f) (α ∈ R). Damit folgt die Behauptung.
✷