Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

Kapitel 3
Gesetze der großen Zahlen
12 0-1-Gesetze
Sei stets (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
12.1 Satz (Erweiterung unabhängiger Systeme)
Ist (E i ) i∈I eine Familie unabhängiger Systeme mit E i ⊆ A (i ∈ I), so ist auch (δ(E i )) i∈I
unabhängig. Ist außerdem jedes E i ∩-stabil, so ist (σ(E i )) i∈I unabhängig.
Beweis: Nach Definition der Unabhängigkeit kann Œ I endlich angenommen werden. Für j ∈ I
sei
{
}
D j := E ⊆ A : (E ′ i) i∈I unabhängig für E ′ j := {E}, E ′ i = E i (i ≠ j) .
Beh: D j ist ein Dynkin-System (j ∈ J).
Denn: Sei J ⊆ I, j ∈ J und A i ∈ E i (i ≠ j).
1. Da
ist Ω ∈ D j .
2. Sei E ∈ D j . Wegen
P
[CE ∩ ⋂ ] [ ⋂
A i = P
ist CE ∈ D j .
i∈J\{j}
[
P Ω ∩ ⋂ ] [ ⋂ ]
A i = P A i = ∏ P[A i ] = P[Ω] · ∏ P[A i ],
i∈J
i∈J
i∈J
i∈J
i∈J\{j}
[ ]
= P CE ·
]
A i − P
[E ∩ ⋂
∏
i∈J\{j}
P[A i ]
i∈J\{j}
3. Sei (D n ) n∈N ∈ D N paarweise fremd und D := ⊎ n∈N
D n . Wegen
ist D ∈ D j .
] ∏
A i = (1 − P[E]) · P[A i ]
i∈J\{j}A i
[
P D ∩ ⋂ ] [ ⊎
A i = P D n ∩ ⋂ ]
A i = ∑ [
P D n ∩ ⋂ ]
A i
i∈J
n∈N i∈J n∈N i∈J
= ∑ P[D n ] · ∏ P[A i ] = P[D] ∏ P[A i ]
n∈N
i∈J
i∈J
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