Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

16. DER SATZ VOM ITERIERTEN LOGARITHMUS 143
16 Der Satz vom iterierten Logarithmus
Stets sei (X n ) n∈N eine Familie unabhängiger, identisch verteilter, reeller, quadratisch integrierbarer
Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) mit
16.1 Spezialfall
Ist die Verteilung der X n zentriert, d.h.
σ := √ Var[X n ], S n :=
n∑
X n .
i=1
E[X n ] = 0, σ = 1 (n ∈ N),
so gilt wegen des starken Gesetzes der großen Zahlen
1
n S n → 0
fast sicher.
Damit bleibt für fast alle ω und ɛ > 0 der Pfad n ↦→ S n (ω) für schließlich alle n im Sektor, der
durch Geraden ω → ±ɛω begrenzt wird.
. .
S n (ω)
.
n ↦→ ɛn
.
n
.
..
n ↦→ −ɛn
.
Wir suchen nun das Fluktuationsverhalten der Irrfahrt S n .
Der zentrale Grenzwertsatz besagt für eine solche Familie von Zufallsvariablen, dass der Pfad
n ↦→ S n (ω) mit beliebig großer Wahrscheinlichkeit schließlich zwischen ω ↦→ ±ɛ √ n bleibt.
Gesucht ist nun eine Folge (a n ) n∈N mir a n → ∞, so dass
lim sup
n→∞
S n
a n
= α ∈ (0; ∞)
fast sicher.
Dies ist möglich, da in jedem Fall lim sup
nach 12.11 und 12.12.
n→∞
S n
a n
eine terminale Funktion, also fast sicher konstant ist