Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

5. L P -RÄUME 43
Beh: L ∞ (m) = {f ∈ L 0 (Ω, A), N ∞ (f) < ∞}.
Beweis:
“⊆”: Für f ∈ L ∞ (m) existiert nach Definition ein α ∈ R + mit |f| ≤ α fast sicher. Also ist
inf{α ∈ R + : |f| ≤ α fast überall} < ∞.
“⊇”: Da N ∞ (f) < ∞ genau dann gilt, wenn es ein α ∈ R + gibt mit |f| ≤ α fast überall, ist
jedes f ∈ {f ∈ L 0 (Ω, A), N ∞ (f) < ∞} fast sicher beschränkt.
5.4 Satz (Hölder’sche Ungleichung)
Seien p, q ∈ [1, ∞] mit 1 p + 1 q = 1. Für f ∈ Lp (m) und g ∈ L q (m) ist fg ∈ L(m) und es gilt die
Hölder’sche Ungleichung
N 1 (fg) ≤ N p (f) · N q (g).
Beweis:
1. Fall: p = ∞ oder q = ∞.
Sei Œ p = ∞. Dann folgt die Behauptung aus 4.22 und
∫
∫
N 1 (fg) = |fg|dm ≤ N ∞ (f)|g|dm = N ∞ (f)N 1 (g).
2. Fall: 1 < p, q < ∞
Sei Œ f, g ≥ 0. Ist N p (f) = 0, so ist |f| p = f = 0 fast überall und damit fg = 0 fast überall, also
N 1 (fg) = 0. Daraus folgt aber schon die Behauptung. Analog schließt man im Fall N q (g) = 0.
Sei also N p (f), N q (g) > 0 und
Zu zeigen ist nun
˜f :=
f , ˜g :=
g
N p (f) N q (g) .
N 1 ( ˜f ˜g) ≤ 1.
Damit ist fg ∈ L 1 (m) und die Hölder’sche Ungleichung folgt.
Für a, b ∈ R ∗ + und α := log a, β := log b gilt wegen der Konvexität der Exponentialfunktion
Also ist
a 1 p b
1
q = exp
(
1
p α + 1 q β )
≤ 1 p exp α + 1 q exp β = 1 p a + 1 q b.
˜f(ω)˜g(ω) ≤ 1 p ˜f(ω) p + 1 q ˜g(ω)q (ω ∈ Ω)
und damit
∫
N 1 ( ˜f ˜g) =
˜f ˜gdm ≤ 1 p
∫
˜f p dm + 1 q
∫
˜g q dm = 1.
✷
5.5 Korollar
Ist m(Ω) < ∞, so ist jede p-fach integrierbare Funktion einfach integrierbar (p ∈ [1; ∞]), d.h.
L p (m) ⊆ L 1 (m) (p ∈ [1; ∞]).
Beweis: Wende 5.4 an mit g = 1.
✷