Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

164 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
falls j < n und
f(x j+1 ) = 1,
falls j = n. Nach den Chapman-Kolmogoroff-Gleichungen gilt:
∫
∫
P sj−1 ,s j
[x j−1 , dx j ]
18.2
P sj,s j+1
[x j , dx j+1 ]1 Aj+1 (x j+1 )f(x j+1 )
= P sj−1 ,s j
P sj,s j+1
(1 Aj+1 · f)(x j+1 )
∫
= P tj−1 ,t j
(1 Bj · f)(x j+1 ) = P tj−1 ,t j
[x j−1 , dy j ]1 Bj (y j )f(y j )
Insgesamt ergibt sich
∫
π H J (P H)[B 1 × . . . × B n ] =
∫
µ[dx 0 ]
P 0,t1 [x 0 , dx 1 ]1 B1 (x 1 )
∫
∫
. . . . . .
P tj−1 ,t j
[x j−1 , dy j ]1 Bj (y j )f(y j )
∫
=
∫
µ[dx 0 ]
∫
P 0,t1 [x 0 , dx 1 ]1 B1 (x 1 ) . . .
P tj−1 ,t j
[x j−1 , dx j ]1 Bj (x j )
∫
∫
P tj,t j+1
[x j , dx j+1 ]1 Bj+1 (x j+1 ) . . .
P tn−1 ,t n
[x n−1 , dx n ]1 Bn (x n )
= P J [B 1 × . . . × B n ]
Der Fall j = n + 1, d.h. s j > t n ist trivial, weil
(π H J ) −1 (B 1 × . . . × B n ) = B 1 × . . . × B n × E
und
∫
P sn,s n+1
[., dx n+1 ] 1 An+1 (x n+1 ) = 1.
} {{ }
=1
Da die Quader ein durchschnittsstabiler Erzeuger von B J sind, folgt nach dem Eindeutigkeitssatz
der Maßtheorie 7.19
P J = π H J (P H).
✷
18.9 Definition
Existiert in 18.8 der projektive Limes
lim ←−
P J (z.B. wenn (E, B) polnisch ist), so heißt
J ⊂⊂ I
P µ :=
lim ←−
P J
J ⊂⊂ I
das Markoff-Maß der Markoff’schen Schar (P s,t ) s,t∈I
s≤t
zur Startwahrscheinlichkeit µ ∈ M 1 +(E).