Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

6. KONVERGENZSÄTZE 59
“ ⇐ ”: Sei f := m − lim f n. Nach 6.19 gibt es eine Teilfolge (f n(j) ) j∈N , die fast sicher gegen f
n→∞
konvergiert. Damit ist
∫ ∗ ∫ ∗ ∫
|f| p dm = lim inf |f n(j)| p dm 6.4
≤ lim inf |f n(j) | p < ∞
j→∞ j→∞
wegen 6.22. Deshalb ist f ∈ L p (m). Nach 6.23.4 ist (|f n − f| p ) n∈N gleichgradig integrierbar.
Mit 6.22 folgt
∫
∀ɛ > 0 ∃δ > 0 ∀A ∈ A mit m[A] ≤ δ ⇒ |f n − f| p dm ≤ ɛ.
Da f = m − lim
n→∞ f n, gibt es ein n 0 ∈ N, so dass für n ≥ n 0
[
]
m {|f n − f| ≥ ɛ} ≤ δ.
Deshalb ist
∫
∫
∫
|f n − f| p dm =
|f n − f| p dm +
|f n − f| p dm ≤ ɛ + ɛ p .
{|f n−f|≥ɛ}
{|f n−f|