Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

176 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
und
Cov[T i , T j ] = E[T i T j ] − b i b j = (2π) − d (
2 x i x j exp
∫
y=A −1 (x−b)
= (2π) − d 2
∫
= (2π) − d 2
(
a ⊤ i yy ⊤ a j exp
(a ⊤ i y + b i )(a ⊤ j y + b j ) exp
)
− y⊤ y
2
dy
)
− 1 2 (x − b)⊤ (AA ⊤ ) −1 (x − b)
(
− y⊤ y
2
)
dy − b i b j
Da die gemischten Terme y i y j beim integrieren keinen Beitrag leisten, ist weiter
dx − b i b j
d∑
∫
Cov[T i , T j ] = (2π) − d 2
k=1
(
a ik yka 2 jk exp
)
− y⊤ y
2
dy =
d∑
a ik a jk = 〈a i , a j 〉.
k=1
2. Sei C symmetrisch und positiv definit. Dann gibt es genau ein A ∈ GL(d, R), so dass C = AA ⊤ .
Da jede affin lineare Abbildung T : Ax + b eindeutig durch A und b bestimmt ist, ist T (N)
eindeutig durch A und b bestimmt.
20.12 Hauptsatz
Jede normale Brown’sche Bewegung X t ist ein zentrierter Gauß-Prozess mit Erwartungsfunktion
b : t ↦→ E[X t ] = 0
und Kovarianzfunktion
Γ : (s, t) ↦→ Cov[X s , X t ] = inf(s, t).
✷
Beweis: Sei 0 ≤ t 1 < . . . < t n und
Also ist T ∈ GL(n, R) mit
und es gilt:
T : (y 1 , . . . , y n ) ↦→ (y 1 , y 1 + y 2 , . . . , y 1 + . . . + y n ).
T −1 = (x 1 , . . . , x n ) ↦→ (x 1 , x 2 − x 1 , . . . , x n − x n−1 )
Vert(X t1 ⊗ . . . ⊗ X tn ) = Vert ( T ◦ (X t1 ⊗ X t2 − X t1 ⊗ . . . ⊗ X tn − X tn−1 ) )
= T ( µ t1
⊗ µ ts−t 1
⊗ . . . ⊗ µ tn−t n−1
)
,
wobei µ t1
= ɛ 0 für t 1 = 0. Damit ist (X t ) t∈I nach 20.10.3 ein Gaußprozess.
Da VertX t = µ t = N 0,t , ist E[X t ] = 0 und Var[X t ] = t. Für s < t gilt:
und für s = t :
Cov[X s , X t ] = E[X s X t ] = E[(X t − X s )X s + X 2 s ] = E[(X t − X s )X s ] + E[X 2 s ]
19.2.2
= E[X t − X s ]E[X s ] + E[X 2 s ] = Var[X s ] = s = inf(s, t),
Cov[X s , X t ] = Var[X s ] = s = inf(s, t).
✷