Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

27. MARKOFF-PROZESSE 233
Also ist P x -fast sicher
P x [X s+t ∈ B|F ∗ s ] = Y = E x [Y |X s ] = E x[ E x [1 B ◦ X s+t |F ∗ s ]|X s
] 22.14
= E x [1 B ◦ X s+t |X s ]
= P x [X s+t ∈ B|X s ].
Damit ist (Ω, A, P x , (X t ) t≥0 ) ein Markoff-Prozess.
Zu zeigen bleibt, dass P ɛx die gemeinsame Verteilung von (X t ) t∈R+ ist, d.h. für jedes n ∈ N,
B 1 , . . . , B n ∈ B und t 1 < . . . < t n ist
∫
∫
∫
P (Xt1 ,...,X tn )[B 1 × . . . × B n ] = P t1 [x, dx 1 ] P t2−t 1
[x 1 , dx 2 ] . . . P tn−t n−1
[x n−1 , dx n ]
·1 B1×...×B n
(x 1 , . . . , x n ).
Der Beweis erfolgt mittels Induktion nach n. Für n = 1 ist die Formel klar. Für n → n + 1 gilt
für
A := {X t1 ∈ B 1 } ∩ . . . ∩ {X tn ∈ B n } ∈ F ∗ t n
P x (X t1 ,...,X tn+1 ) [B 1 × . . . × B n+1 ] = P x[ {X tn+1 ∈ B n+1 } ∩ A ]
∫
∫
22.17.1
= P x [X tn+1 ∈ B n+1 |Ft ∗ n
]dP x 3.
= P Xtn [X tn+1−t n
∈ B n+1 ]dP x
A
A
∫
= (1 B1 ◦ X t1 ) . . . (1 Bn ◦ X tn ) P tn+1 −t
} {{ }
n
[X tn , B n+1 ]dP x
=1
∫
A
= 1 B1×...×B n
◦ (X t1 , . . . , X tn )P tn+1 −t n
[., B n+1 ]
∫
8.4
=
Ind.Ann.
=
◦ π {t1,...,tn}
t n
◦ (X t1 , . . . , X tn ) dP x
} {{ }
=X tn
1 B1×...×B n
P tn+1 −t n
[., B n+1 ] ◦ π {t1,...,t n}dP x (X t1 ,...,X tn )
∫
∫
P t1 [x, dx 1 ] P t2−t 1
[x 1 , dx 2 ] . . .
∫
P tn−t n−1
[x n−1 , dx n ]1 B1 (x 1 ) . . . 1 Bn (x n )
∫
P tn+1 −t n
[x n , dx n+1 ]1 Bn+1 (x n+1 )
∫
=
∫
P t1 [x, dx 1 ]
P t2−t 1
[x 1 , dx 2 ] . . .
∫
P tn+1 −t n
[x n , dx n+1 ]1 B1×...×B n+1
(x 1 , . . . , x n+1 ).
✷