Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

48 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
6 Konvergenzsätze
6.1 Hauptsatz (Beppo Levi)
Sei m ein σ-additiver Inhalt auf einem Ring R. Dann gilt für jede isotone Folge (f n ) n∈N von
Funktionen mit
∫ ∗
f n dm > −∞
für ein und damit für schließlich alle n ∈ N
∫ ∗ ∫ ∗
sup f n dm = sup f n dm.
n∈N
n∈N
Beweis:
“≥”: Sei Œ
∫ ∗
f n dm > −∞ (n ∈ N). Dann ist wegen f n ≤ sup n∈N f n (n ∈ N)
“≤”: Sei Œ
∫ ∗
sup f n dm ≤
n∈N
∫ ∗
f n dm < ∞ (n ∈ N), und
∫ ∗
sup f n dm.
n∈N
∫ ∗
f n dm ∈ R (n ∈ N). Sei ɛ > 0 und E :=
E(Ω, R, m).
∫ ∗ ∫ ∗
Beh: Es gibt eine isotone Folge (t n ) n∈N ∈ (E σ ) N mit t n ≥ f n und t n dm ≤ f n dm+
n∑
ɛ
i=1
1
2 i .
Beweis durch Induktion:
“n = 1”: folgt aus der Definition des Oberintegrals.
“n → n + 1”: Wie im Fall n = 1 gibt es ein t ∈ E σ mit t ≥ f n+1 , µ σ (t) < ∞ und
∫
µ σ (t) ≤ f n+1 dm + ɛ 1
2
. n+1
Definiere t n+1 = sup(t n , t) ∈ E σ . Dann ist t n+1 ≥ t n . Wegen t ≥ f n+1 ≥ f n und
t n ≥ f n ist inf(t n , t) ≥ f n und daraus folgt
∫ ∗ ∫ ∗
t n+1 dm = t n + t − inf(t n , t)dm
Für n → ∞ ergibt sich
≤
=
∫ ∗
f n dm + ɛ
n∑
i=1
∫ ∗ n+1
∑
f n dm + ɛ
i=1
∫ ∗ ∫ ∗
1
2
+ f i n+1 dm +
ɛ
2
− f n+1 n dm
1
2 i .
∫ ∗ ∫ ∗
t n dm ≤ f n dm + ɛ (n ∈ N)
und damit
∫ ∗
sup f n dm ≤
n∈N
Für ɛ → 0 ergibt sich die Behauptung
∫ ∗ ∫ ∗
sup t n dm 4.5
= sup µ σ (t n ) ≤ sup f n dm + ɛ (ɛ > 0).
n∈N