Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

5. L P -RÄUME 45
5.9 Satz
Für 1 ≤ p ≤ ∞ ist
N := Np
−1 (0) = {f ∈ L 0 (Ω, A), f = 0 fast überall}
unabhängig von p ein linearer Teilraum von L p (m).
Durch
f ∼ g ⇔ f − g ∈ N ⇔ N p (f − g) = 0 ⇔ f = g fast überall
wird eine Äquivalenzrelation definiert.
Beweis: Der Raum N ist ein Teilraum, da N p eine Halbnorm, d.h. homogen ist und die Dreiecksungleichung
gilt. Schließlich wird wegen 4.20.4 und 4.20.5 durch ∼ eine Äquivalenzrelation
definiert.
✷
5.10 Definition
Für 1 ≤ p ≤ ∞ ist der Raum
L p (m) := Lp (m)
∼
der Äquivalenzklassen ( f) ˙ = f + N (f ∈ L p (m)) ein Vektorraum und
||( ˙ f)|| p = N p (f)
definiert unabhängig vom Repräsentanten f ∈ f ˙ eine Norm auf L p (m).
Damit bezeichnen ||.|| p bzw. N p die Norm bzw. Halbnorm der Konvergenz im p-ten Mittel.
Ist p = 1, so spricht man von der Kovergenz im Mittel, ist p = 2 so von der Konvergenz im
quadratischen Mittel. Die Konvergenz im p-ten Mittel ist mit der Vektorraum-Struktur verträglich,
d.h.
f n
L p (m)
−−−−→ f, g n
L p (m)
−−−−→ g ⇒ f n + g n
L p (m)
−−−−→ f + g, αf n
L p (m)
−−−−→ αf.
Häufig unterscheidet man nicht zwischen L p (m) und L p (m) und schreibt ||.|| p statt N p .
Analog kann man den Raum L 0 (Ω, A, m) der Äquivalenzklassen der messbaren Funktionen definieren.
5.11 Bemerkung
Sei p ∈ [0; ∞]. Komplexe Funktionen sind A-messbare Funktionen bzw. p-fach m-integrierbare
Funktionen, falls sowohl Real- als auch Imaginärteil diese Eigenschaften haben. Für die entsprechenden
Räume wird
L p (C, B(C), m) =: L p C (m) := L0 (Ω, A, C) ∩ {N p < ∞},
L p (m, B(C), C) =: L p C (m) := L0 (Ω, A, C) ∩ {N p < ∞}
definiert. Nun ist N p eine Halbnorm auf L p C (m), ||.|| p eine Norm auf L p C
(m) und
∫
〈f, g〉 := fgdm
definiert ein Pseudoskalrprodukt auf L 1 C (m). Die Abbildung
∫ ∫
f ↦→ fdm := Rfdm + iIfdm
definiert eine komplexe Linearform mit
∫
∣
∫
fdm∣ ≤
|f|dm.