Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

130 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
Damit gilt
∫
lim sup
n→∞
und die Behauptung folgt mit k → ∞.
fdµ n ≤ 1 k µ[E] + ∫
fdµ
“4. ⇔ 5.”: Ist trivial, da f genau dann nach oben halbstetig ist, wenn −f nach unten halbstetig
ist.
“5. ⇒ 6.”: Da f µ-fast überall stetig ist, ist f = f = f µ-fast überall. Daraus folgt
∫ ∫
fdµ = fdµ
und damit
∫
∫
fdµ ≤ 5.
lim inf
n→∞
∫
fdµ n ≤ lim inf
n→∞
∫
fdµ n ≤ lim sup
n→∞
∫
4.
fdµ n ≤
∫
fdµ =
fdµ.
“6. ⇒ 7.”: Ist trivial, da 1 A µ-fast überall stetig ist.
“7. ⇒ 1.”: Es genügt zu zeigen
∫
lim sup
n→∞
∫
fdµ n ≤
fdµ
(f ∈ C b (E).
Denn dann erhält man
∫ ∫
lim sup fdµ n ≤
n→∞
= lim inf
n→∞
∫
fdµ = −
∫
∫
(−f)dµ ≤ − lim sup
n→∞
∫
fdµ n
fdµ n ≤ lim sup
n→∞
(−f)dµ n
Sei wieder Œ f ∈ C b (E) mit f(E) ⊆ [0; 1). Definiere für j, kn ∈ N
T j k := { t ∈ R + : µ[kf = t] ≥ 1 j
}
,
T k := { t ∈ R + : µ[kf = t] > 0 } = ⋃ j∈N
T j k
Dann ist
∑
µ[kf = t] ≤ µ[E] < ∞.
t∈T j k
Mit T k ist auch T := ⋃ k∈N
T k abzählbar und damit auch S :=
es ein α ∈ [0; 1) \ S.
Für t ∈ R + \ T und k ∈ N gilt dann, weil f stetig ist
∞⋃
(−i + T ). Deshalb gibt
i=0
µ [ ∂{kf ≥ t} ] ≤ µ [ ]
{kf ≥ t} \ {kf > t} = µ[kf = t] = 0,
da {kf > t} offen ist, {kf > t} ⊆ {kf ≥ t} und wegen der Definition von T . Damit ist
{kf ≥ t} µ-randlos und es gilt
lim µ n[kf ≥ t] = µ[kf ≥ t].
n→∞