Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

22. SATZ VON RADON-NIKODYM UND BEDINGTE ERWARTUNGEN 197
aus dem Eindeutigkeitssatz der Maßtheorie. Ist insbesondere Ω ′′ polnisch mit A ′′ = B(Ω ′′ ), so
sind die bedingten Verteilungen und die faktorisierten bedingten Verteilungen universell fast sicher
eindeutig bestimmt. Wähle dazu ein System B ′′ = der offenen Kugeln mit rationalen Radien in
Mittelpunkten aus einer abzählbaren, dichten Teilmenge von Ω.
22.28 Existenzsatz
Zu jeder Zufallsvariable X : (Ω, A, P) → (Ω ′′ , A ′′ ) mit polnischem Raum Ω ′′ , A ′′ = B(Ω ′′ ) gibt
es ’genau’ eine bedingte Erwartung von X unter der Hypothese Y und genau eine faktorisierte
bedingte faktorisierte Erwartung von X unter der Hypothese Y .
Beweis: Folgt aus der inneren Regularität der Wahrscheinlichkeitsmaße auf polnischen Räumen
(vgl. z.B. [BW], 44.3, [GS], 5.3.16, wobei dort reguläre bedingte Verteilung das heißt, was hier
unter dem Namen faktorisierte bedingte Verteilung eingeführt wurde).
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22.29 Satz
Seien X : (Ω, A, P) → (Ω ′′ , A ′′ ) und Y : (Ω, A, P) → (Ω ′ , A ′ ) Zufallsvariablen und K ein Markoff-
Kern von (Ω ′ , A ′ ) nach (Ω ′′ , A ′′ ).
Genau dann ist K eine faktorisierte bedingte Verteilung von X unter der Hyposthese Y , wenn
P (Y,X) = P Y ⊗ K.
Beweis: Für A ′ ∈ A ′ und A ′′ ∈ A ′′ gilt
P (Y,X) [A ′ × A ′′ ] = P[X −1 (A ′′ ) ∩ {Y ∈ A ′ }] 22.21.2
=
∫
A ′ P[X −1 (A ′′ )|Y = y]P Y [dy].
Andererseits ist
∫
P Y ⊗ K[A ′ × A ′′ ] = K[y, A ′′ ]P Y [dy].
A ′
Mit 22.26 folgt die Behauptung.
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22.30 Korollar
Sei (Ω, A, P, (X t ) t∈I , E, B(E)) ein stochastischer Prozess mit Zustandsraum E, dessen gemeinsame
Verteilung das Markoff-Maß P µ aus einer Markoff’schen Schar (P s,t ) s,t∈I und einer Startwahrscheinlichkeit
µ auf E ist.
s≤t
Dann ist für s < t der Markoff-Kern P s,t eine faktorisierte bedingte Verteilung von X t unter der
Hypothese X s .
Beweis: Nach 18.10 ist
P (Xs,X t) = P µ (π s,π t) = Pµ π s
⊗ P s,t = P Xs ⊗ P s,t .
Deshalb folgt die Behauptung aus 22.29.
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