Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

140 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
Denn: Sei ɛ > 0. Für δ > 0 gibt es ein n δ ∈ N, so dass
∣
∣P
[
1
n
n∑
i=1
√
]
|X i − E[X i ]| < ɛ − √ 1 ∫ n ɛ
σ n
2π
√ n
−ɛ
σ n
exp ( ) ∣ ∣∣ δ
− x2
2 dx ≤
2
und
für n ≥ n δ . Damit ist
P[∣ ∣∣ 1
n
√
∫ n
1 ɛ
σ n
√
2π
√ n
−ɛ
σ n
exp ( ) δ
− x2
2 dx ≥ 1 −
2
n∑
]
X i − E[X 1 ] ∣ ≥ ɛ ≤ δ (n ≥ n δ ).
Für δ → 0 erhält man das schwache Gesetz der großen Zahlen.
i=1
✷
15.12 Korollar 2
Für jede unabhängige Folge (X n ) n∈N reeller Zufallsvariable mit 0 < Var[X n ] < ∞ (n ∈ N), die
∞∑
der Ljapunoff-Bedingung genügt, z.B. Var[X n ] = ∞ und (X n ) n∈N gleichmäßig beschränkt,
gilt der Zentrale Grenzwertsatz
Beweis: Folgt aus 15.7.3.
15.13 Bemerkung
n=1
Abschließend wollen wir nun die Konvergenzgeschwindigkeit im zentralen Grenzwertsatz für unabhängige,
identisch verteilte Zufallsvariablen (X n ) n∈N mit 0 < Var[X 1 ] < ∞ bestimmen.
Dabei schreiben wir für (a n ) n∈N , (b n ) n∈N ∈ R N mit b n ≠ 0 (n ∈ N)
a n = O(b n ) : ⇐⇒ ∃c > 0 : a n
≤ c (n ∈ N)
b n
a n
a n = o(b n ) : ⇐⇒ lim = 0
n→∞ b n
Damit gilt
a n = o(b n ) ⇒ a n = O(b n ).