Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

13. STARKES UND SCHWACHES GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN 117
2. Zu zeigen ist
Wir zeigen statt dessen
1
X := lim inf
n→∞ n S 1
n ≥ lim sup
n S n =: X = E[X 1 ] fast sicher.
n→∞
E[X] ≥ E[X 1 ] ≥ E[X].
(∗)
Dann ist nämlich E[X − X] ≤ 0, also E[X − X] = 0 und damit, da X und X terminale
Funktionen, also fast sicher konstant sind,
X f.s.
= E[X 1 ] ≤ E[X] ≤ E[X] ≤ E[X 1 ] f.s.
= X.
Beh: Zum Nachweis von (∗) genügt es,
zu zeigen.
Denn: setzt man für k ∈ N
E[X 1 ] ≥ E[X]
Z k : x ↦→ k − inf(x, k),
Y k n := Z k ◦ X n = k − inf(X n , k),
so ist die Familie (Y k n ) n∈N unabhängig, identisch verteilt und wegen P Y k n
= Z k (P Xn ) =
Z k (P X1 ) integrierbar. Damit erfüllt (Y k n ) n∈N für jedes k ∈ N die Voraussetzungen des Satzes.
Hat man die eingerahmte Behauptung gezeigt, so folgt durch Anwendung auf (Y k n ) n∈N
analog E[Y 1 ] ≥ E[Y k ], also wegen Y k = k − lim inf
n→∞ (inf(X n, k))
E[X] ≥ E[lim inf
n→∞ (inf(X n, k))] = k − E[Y k ] ≥ k − E[Y 1 ] = E[inf(X 1 , k)] ↑ k→∞ E[X 1 ].
3. Sei Œ E[X 1 ] > 0. Im Fall E[X 1 ] = 0 ist X n = 0 fast sicher (n ∈ N) und die Behauptung ist
trivial.
Nun ist zu zeigen: Für 0 < α < E[X] ist
Wie in 12.11 ist für k ∈ N
α ≤ E[X 1 ] = lim
n→∞ E[ 1
n S n]
.
X = lim sup
n→∞
1
n
n∑
X k+i−1 .
Da X ein terminale Funktion ist, ist X = E[X] und damit gilt für k ∈ N
i=1
α < 1 n
n∑
i=1
X k+i−1
(∗∗)
fast sicher für unendlich viele n.
Zu n ∈ N und ω ∈ Ω konstruieren wir L n (ω) ∈ N 0 paarweise fremde Teilintervalle
I j (ω) = {K j (ω), . . . , K j (ω) + N j (ω) − 1} ⊆ {1, . . . , n} (j = 0, . . . , L n (ω)),
so daß im Mittel in I j (ω)
N
1 ∑ j(ω)
X Kj(ω)+i−1 ≥ α.
N j (ω)
i=1