Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

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212 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE 4. Sei f : I → R. Beh: Ist so existieren lim t→t 0 tt 0 f(t) ∈ R (t 0 ∈ I). Denn: Wäre z.B. im ersten Fall lim inf t→t 0 t
25. MARTINGALKONVERGENZSÄTZE 213 wobei I 0 := {s i : i ∈ I 0 } eine abzählbare und rechtsseitig dichte Teilmenge in I ist. Wir definieren zunächst für eine Funktion f : I → R U ′ (a;b) (f) := sup { n ∈ N : ∃t 1 < . . . < t 2n in I mit f(t 2j−1 ) ≤ a, f(t 2j ) ≥ b (1 ≤ j ≤ n) } . Damit ist U (a;b) ′ (f) ≥ U (a;b)(f). Es genügt wegen monotoner Konvergenz zu zeigen: Beh: Für jede endliche Teilmenge J = {t 1 , . . . , t n } ⊆ I mit t 1 < . . . t n ist U (a;b) (X J ) messbar und es gilt E [ U (a;b) ′ (X J) ] ≤ 1 b − a sup E[(X t − a) + ]. Definiere dazu die Stoppzeiten T n : Ω → J ∪ {∞} (n ∈ N) rekursiv durch T 0 = 0, { min{t k ∈ J : T 2i−2 < t k , X tk ≤ a} falls {t k ∈ J : T 2i−2 < t k , X tk ≤ a} ≠ ∅ T 2i−1 = t n falls {t k ∈ J : T 2i−2 < t k , X tk ≤ a} = ∅, { min{t k ∈ J : T 2i−1 < t k , X tk ≥ b} falls {t k ∈ J : T 2i−1 < t k , X tk ≥ b} ≠ ∅ T 2i = t n falls {t k ∈ J : T 2i−2 < t k , X tk ≥ b} = ∅, Beh.: Es gilt {T i ≤ t} ∈ F t Denn: Wegen (t ∈ I). {T i ≤ t} = t∈I n⋃ {T i = t k } k=1 t k ≤t genügt es zu zeigen, dass {T i = t k } ∈ F tk ⊆ F t . Dies zeigt man mit Induktion: “i = 0”: Klar. “2i − 2 → 2i − 1”: Für k ≤ n ist ( ) ( ⋃ {T 2i−1 = t k } = {T 2i−2 < t k } ∩ {X tk ≤ a} \ und ebenso für {T 2i = t k } ∈ F tk . Also sind alle T i Stoppzeiten. Offenbar ist U (a;b) (X I )(ω) ∈ { 0, . . . , [ ]} n 2 und für i ≤ [ n 2 ] ist {U ′ (a;b) (X J) ≥ i} = ⋃ {s 1U ′ (a;b) (X J ) X T2i − X T2i−1 = U ′ (a;b) (X J) = U ′ (0;b−a)( ((Xt − a) +) t∈J) . { Xtn − X 2U ′ (a;b) (X J )+1, T 2U ′ (a;b) (X J )+1 < t n ≤ X tn . 0, T 2U ′ (a;b) (X J )+1 ≥ t n
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