Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

170 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
1. Sei
Wegen
{
R d × R d → R d
δ :
(x 1 , x 2 ) ↦→ x 2 − x 1 .
Vert(Y t − Y s ) = δVert(Y s ⊗ Y t ) = δVert(X s ⊗ X t ) = Vert(X t − X s )
hat (Y t ) t∈I stationäre Zuwächse.
Für 0 = t 0 < t 1 < . . . < t n gilt mit T n aus 19.3
T −1
n : (x 0 , . . . , x n ) ↦→ (x 0 , x 1 − x 0 , . . . , x n − x n−1 ).
Damit ist
Vert ( Y t0 ⊗(Y t1 − Y t0 ) ⊗ . . . ⊗ (Y tn − Y tn−1 ) ) = T −1 (
n Vert(Yt0 ⊗ Y t1 ⊗ . . . ⊗ Y tn ) )
= T −1 (
n Vert(Xt0 ⊗ . . . ⊗ X tn ) )
= Vert ( X t0 ⊗ (X t1 − X t0 ) ⊗ . . . ⊗ (X tn − X tn−1 ) )
= VertX t0 ⊗ Vert(X t1 − X t0 ) ⊗ . . . ⊗ Vert(X tn − X tn−1 )
= VertX t0 ⊗ δVert(X t0 ⊗ X t1 ) ⊗ . . . ⊗ δVert(X tn ⊗ X tn−1 )
= VertY t0 ⊗ δVert(Y t0 ⊗ Y t1 ) ⊗ . . . ⊗ δVert(Y tn ⊗ Y tn−1 )
= VertY t0 ⊗ Vert(Y t1 − Y t0 ) ⊗ . . . ⊗ Vert(Y tn − Y tn−1 ).
Damit hat (Y t ) t∈I unabhängige Zuwächse.
2. “⇒”: klar
“⇐”: Der Beweis von 1. lehrt, dass für 0 = t 0 < t 1 ≤ . . . ≤ t n
(
Vert(Xt0 ⊗ . . . ⊗ X tn ) ) = T −1 (
Vert(Yt0 ⊗ . . . ⊗ Y tn ) ) .
T −1
n
n
gilt. Also ist durch Komposition mit T n
Damit ist
Vert(X t0 ⊗ . . . ⊗ X tn ) = Vert(Y t0 ⊗ . . . ⊗ Y tn ).
VertX J = VertY J
({0} ⊆ J ⊂⊂ I).
Definiere die Projektion π : (x 0 , . . . , x n ) ↦→ (x 1 , . . . , x n ). Dann folgt die Behauptung
durch
Vert(X t1 ⊗ . . . ⊗ X tn ) = π(Vert(X t0 ⊗ . . . ⊗ X tn ))
= π(Vert(Y t0 ⊗ . . . ⊗ Y tn ))
= Vert(Y t1 ⊗ . . . ⊗ Y tn ),
d.h.
VertX J = VertY J
(J ⊂⊂ I).
✷