Méthodes numériques en finance

10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 100
Notons que les valeurs propres sont toutes positives, avec
λ m in ∼
π2
n 2 h 2 ≤ λ 1, ..., λ k , ..., λ n ≤ λ m ax ∼ 4 h 2 .
Si l’on s’intéresse au cas du Laplacien, de façon similaire, on obtient que les valeurs propres
de L h sont alors les
λ i,j =
2(1 − cos(πi/(n + 1)))
h 2 x
+
2(1 − cos(πj/(n + 1)))
h 2 ,
y
et de la même façon, on peut montrer que ces valeurs propres sont toutes positives, avec
λ min ∼ 1π2
n 2 h 2 + 1π2
x n 2 h 2 y
≤ λ 1,1 , ..., λ i,j , ..., λ n,n ≤ λ max ∼ 4 h 2 x
+ 4 h 2 .
y
10.5 Examples de discrétisation: l’équation de la chaleur
On considère ici l’équation aux dérivées partielles
∂u(t, x)
∂t
− κ ∂2 u(t, x)
∂x 2 = f(t, x), pour x ∈ R et t > 0,
avec des conditions de bords u(x, 0) = u 0 (x) pour tout x ∈ R (u 0 donnée, et connue). En
pratique, on supposera que x et t sont toutefois bornés, soit x ∈ [−a, +a] et t ∈ [0, T ]. Dans ce
cas, il convient de rajouter une condition de bord en espace, de la forme
• schéma explicite
u(−a, t) = a(a, t) = 0 pour tout t ∈]0, T ].
L’idée est ici d’approcher (u(t, x)) t>0,x∈R par une suite u i,j , ou (u i,j ) i∈[1,...,I],j∈[1,....,n] , définie
sur la grille (régulière) (t i , x j ), où t i − t i−1 = ∆t et x j − x j−1 = h par
u i+1,j − u i,j
∆t
− κ u i,j+1 − 2u i,j + u i,j−1
h 2 = f i,j ,
où f i,j = f(t i , x j ), et en rajoutant les condition de bord
u 0,j = u 0 (x j ) pour tout j et ui, 0 = u(i, n + 1) = 0.
Notons que l’on peut réécrire cette relation sous la forme récurente
ui + 1, j = ∆tf i,j + λ(u i,j+1 + u i,j−1 ) + [1 − 2λ]u i,j ,
en posante λ = κ ∆t
h 2 . Le fait que la valeur à la date t i+1 s’écrive en fonction des valeurs à la date
t i explique le terme “explicite” du schéma.
On note ε i+1,j la différence entre la solution approchée et la vrai solution, en (t i , x j ), i.e.
ε i+1,j = u i+1,j − u i,j
∆t
− κ u i,j+1 − 2u i,j + u i,j−1
h 2 − f i,j .
En supposant que u soit 2 fois continûment dérivable en t et 4 fois en x, en utilisant un
développement de Taylor
u(t i+1 , x j ) = u(t i , x j ) + ∆t ∂u
∂t (t i, x j ) + O(∆t 2 ),
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance